Question

Considere os anagramas da palavra SIMULADO.
A) Quantos são esses anagramas, no total?
B) Quantos começam por vogal?
C) Quantos têm juntas as letras L, A, D e O?
D) Quantos têm a letra M em primeiro lugar e S em segundo lugar?
E) Quantos têm a letra M em primeiro lugar ou S em segundo?

Answer 1

a) 40.320 anagramas.

b) 20.160 anagramas.

c) 576 anagramas.

d) 720 anagramas.

e) 9360 anagramas.

O que são anagramas?

Anagramas são as palavras, com sentido ou não, formadas pela troca ou permutação de todas as letras de uma palavra tomada como inicial.

Por exemplo, a palavra MAR possui os seguintes anagramas.

• MAR
• MRA
• AMR
• ARM
• RMA
• RAM

Como calcular a quantidade de anagramas de uma palavra?

Por um lado, uma palavra com n letras sem letras repetidas forma uma quantidade de anagramas dada pela permutação simples da quantidade n de letras palavra. Isto é:

$\large{\boxed{P_n = n!}$

Por outro lado, quando uma palavra contém letras repetidas, utilizamos a fórmula da permutação com repetições, para quantidade de anagramas. Ela é dada por:

$\large{\boxed{P_n^{a_1,\cdots,a_n} = \dfrac{n!}{a_{1}!\cdot ... \cdot a_n!}}}$

Onde:

• n é o total de letras.

• a₁ até aₙ representa a quantidade de letras diferentes.

Como resolver a questão?

• Palavra: SIMULADO .

• Letras: S-I-M-U-L-A-D-O (8 letras) .

• Repetições: 0 letras.

a) Como não existem letras repetidas, utilizaremos a permutação simples de 8 letras.

$P_8 = 8! = \boxed{40.320}$

b) Para cada vogal, existe uma configuração, onde V representa uma vogal fixa e X uma letra qualquer, do tipo:

• V X X X X X X X X

Pelo Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C), existem 7 possibilidades para a primeira letra qualquer, 6 para a segunda, e assim sucessivamente. Ou seja, a permutação simples de 7 letras.

$P_7 = 7! =5.040$

Como são 4 possíveis vogais do início (A I O U), então multiplicaremos esse resultado por 4.

$4 \cdot 5.040 = \boxed{20.160}$

c) Para que estejam juntas, as letras L, A, D, O devem ser configuradas:

• L A D O X X X X  
• X L A D O X X X
• X X L A D O X X
• X X X L A D O X
• X X X X L A D O

Porém, note que a ordem delas não importa (poderia ser LDOA, ALDO, AODL, por exemplo). Então, cada caso listado engloba 24 casos (4! = 24). Ainda perceba que em cada caso existe a permutação das 4 letras X, então são 24 casos também. Logo,

$24 \cdot 24 = \boxed{576}$

d) Para que as letras M e S fiquem, respectivamente, no primeiro e segundo lugares, a única configuração possível é:

• M S X X X X X X

Portanto, trata-se de uma permutação simples de 6 letras X.

$P_6 = 6! = \boxed{720}$

e) A letra M fica em primeiro lugar na configuração:

• M X X X X X X X

O que é uma permutação simples de 7 letras X.

$P_7 = 7! = 5.040$

O mesmo vale para a letra S, no segundo lugar:

• X S X X X X X

$P_7 = 7! = 5.040$

Acontece que a resposta não é 5.040 + 5.040, pois devemos retirar os casos onde M e S ficam juntas. Lembre-se de que eles estão sendo contados duas vezes.

Dessa forma, como calculado no item anterior:

$5.040 + 5.040 - 720 = \boxed{9.360}$

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