Question

Considere o triângulo retângulo isósceles ABC (reto em B) e o trapézio retângulo EFCD cujos ângulos retos são os dos vértices F e C, conforme a figura a seguir. Sabe -se que a medida do segmento BF é igual a 8 cm, do segmento DC é 4cm e que a area do trapézio EFCD é 30cm². Determine a medida AB

Answer 1

Olá Laura!!

Inicialmente, consideremos apenas o triângulo ABC. Bom! note que, de acordo com o enunciado, ele é isósceles; por isso, o ângulo A e o ângulo B medem 45º.

Por conseguinte, o enunciado garante que o trapézio EFCD é retângulo em C e F. Isto posto, repare que o triângulo EFC é retângulo em C, além disso, sabemos que $\mathsf{F\widehat{C}E = 45^o}$. Daí, fazemos:

$\\ \displaystyle \mathsf{\tan 45^o = \frac{\overline{EF}}{\overline{CF}}} \\\\ \mathsf{1 = \frac{\overline{EF}}{\overline{CF}}} \\\\ \boxed{\mathsf{\overline{EF} = \overline{CF}}}$

Por fim, como $\mathsf{\Delta ABC \sim \Delta EFC}$, tiramos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{\overline{EF}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{CF}}{\overline{CB}}} \\\\ \mathsf{\overline{AB} \cdot \overline{CF} = \overline{EF} \cdot \overline{CB}} \\\\ \mathsf{\overline{AB} \cdot \overline{CF} = \overline{CF} \cdot \left ( \overline{CF} + 8 \right )} \\\\ \mathsf{\overline{AB} = \overline{CF} + 8} \\\\ \mathsf{(...)}$

Para determinar a medida do lado CF, fazemos uso da informação envolvendo a área do trapézio, veja:

Sabemos que a área de um trapézio é dada por:

$\displaystyle \mathsf{A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}}$

onde "B" é a base maior, "b" a base menor e "h" a altura. Portanto, a área do trapézio EFCD...

$\\ \displaystyle \mathsf{A = \frac{(B + b) \cdot h}{h}} \\\\\\ \mathsf{A = \frac{ \left ( \overline{EF} + \overline{CD} \right ) \cdot \overline{CF}}{2}} \\\\\\ \mathsf{30 = \frac{ \left ( \overline{CF} + 4 \right ) \cdot \overline{CF}}{2}} \\\\ \mathsf{(\overline{CF})^2 + 4 \cdot \overline{CF} - 60 = 0} \\\\ \mathsf{(\overline{CF} + 10) \cdot (\overline{CF} - 6) = 0} \\\\ \boxed{\mathsf{\overline{CF} = 6}}$

Com efeito,

$\\ \displaystyle \mathsf{\overline{AB} = \overline{CF} + 8} \\\\ \mathsf{\overline{AB} = 6 + 8} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\overline{AB} = 14}}}$