Question

Considere o triângulo retângulo ???????????? exibido na figura abaixo, em que ???????? = 2 cm, ???????? = 1 cm e ???????? = 5 cm. Então, o ângulo theta é igual a a) 15o. b) 30o. c) 45o. d) 60o.

#UNICAMP

Answer 1

alternativa (c) 45°

Esta é uma questão sobre trigonometria. Quando um triângulo possui um ângulo reto (90°) podemos aplicar o Teorema de Pitágoras:

$hip^2 = cat^2 + cat^2$

Na figura apresentada pelo enunciado, faltam as indicações de quais lados pertencem as medidas fornecidas, em anexo é possível encontrar a figura que complementa o enunciado.

Vamos utilizar o teorema de Pitágoras para os triângulos ABC e ABD:

$ABC\\\\hip^2 = cat^2+cat^2\\\\hip^2 = 2^2+1^2\\\\hip^2 = 4+1\\\\hip = \sqrt{5}$

$ABD\\\\hip^2 = cat^2+cat^2\\\\hip^2 = 2^2+6^2\\\\hip^2 = 4+ 36\\\\hip^2 = 40\\\\hip = \sqrt{40}$

Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo ACD, temos:

$CD^2=AC^2+AD^2-2*AC*AD*cos\theta\\\\5^2 = \sqrt{5} ^2+\sqrt{40}^2- 2*\sqrt{5} *\sqrt{40} *cos\theta\\\\25=5+40-2*\sqrt{5} *2\sqrt{10} cos\ theta\\\\2*\sqrt{5} *2\sqrt{10} cos\ theta = 20\\\\cos\theta = \frac{20}{4*\sqrt{5}*\sqrt{10} } \\\\cos\theta = 0,7071$

Sabemos que o resultado do cosseno quando é 0,7071, é porque o ângulo em questão vale 45°.