Question

Considere o triângulo retângulo ADE, o retângulo CFED e
o triângulo retângulo ABC, com o ponto D sobre o lado AC,
conforme mostra a figura.​

Answer 1

Iremos usar :

$Sen=\frac{catOP}{Hip}$

$Pitagoras- Hip^{2} = Cateto^{2} + Cateto^{2}$

$AreaRetangulo - Base.Altura$

Apenas com essas 3 noções básicas iremos resolver o problema, já presumindo que você conheça os ângulos notáveis, 30°, 45° e 60°

Bom, vamos lá:

Primeiro iremos achar as medidas do triangulo "ADE" usando seno:

$Sen30=\frac{CatOP}{Hip}\\\\ Sen30=\frac{ED}{AE}\\\\Sen30=\frac{ED}{8}\\\frac{1}{2} = \frac{ED}{8}\\\\8 = 2ED\\\\ED= 4$

Sabendo que "ED" mede 4, vamos procurar o valor do outro cateto por intermédio do Teorema de Pitágoras:

$EA^{2}= ED^{2} + AD^{2} \\8^{2} = 4^{2} + AD^{2}\\64 = 16 + AD^{2}\\AD^{2} = 48\\AD = \sqrt[2]{48} \\48 = 2.2.2.2.3 = 2^{4}.3\\AD= 4\sqrt{3}$

Agora o valor de AC, por meio de seno novamente só que no triangulo maior "ABC":

$Sen30= \frac{CB}{AC}\\\\\frac{1}{2} = \frac{4\sqrt{3} }{AC} \\ AC = 2.4\sqrt{3} \\\\AC = 8\sqrt{3}$

Então sintetizando, como já temos o lado "ED" do retângulo só nos resta achar a base "DC" para realizar a área, porém a base "DC" é o mesmo que "AC" menos "AD" quais possuímos os valores

Calculando DC:

$DC =AC-AD\\DC=8\sqrt{3} - 4\sqrt{3} \\DC=4\sqrt{3}$

Por fim! A área do retângulo por meio de Base.Altura:

$Área =DC.ED\\A= 4.4\sqrt{3} \\ A = 16\sqrt{3}\ cm^{2}$

Resposta letra (A)

Espero ter ajudado! Grande abraço!