Question

Considere o triangulo ABC retângulo em C, desta figura:


Nesse triangulo, DF = EF e DE = BE. Com base nessas informações, é correto afirmar que o angulo x mede:

Answer 1

Ele lhe informa que DF=EF e DE=BE. Logo você tem 2 triângulos isósceles. Todo triângulo isósceles tem os ângulos da base iguais.
No ponto F basta fazer 180°-144°=36°, logo os ângulos da base serão 72° cada. No outro triângulo faça 180°-72°=108°, logo os ângulos da base serão 36° cada. Agora basta calcular os ângulos do triângulo maior ABC. Se todo triângulo tem 180° de ângulos internos basta subtrair por 90° do ângulo reto, menos 36° do ângulo lá na ponta B que vai dar 54° o ângulo x.

Answer 2

Temos, que
$DF=EF$
Logo, o triângulo DEF é isosceles, ou seja, tem dois lados iguais, e portanto dois ângulos iguais.
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Sabemos que um ângulo raso, equivale a 180°, logo, o ângulo y, em cinza representa o suplemento do ângulo 144°, ou seja, aquele ângulo que somado ao 144° dá 180°.
$y+144=180$
$y=180-144$
$y=56$°
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Como o triãngulo DEF tem dois ângulo iguais, e um ângulo de 56°, e sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, temos,
$z+z+56=180$
$2z+56=180$
$2z=180-56$
$2z=144$
$z=72$
Logo, temos que o ângulo DEF tem dois ângulos de 72° e um  de 56°.
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Temos, que
$DE=BE$, então o triângulo BDE é isósceles. Tendo dois ângulos iguais. ângulo DBE e ãngulo EDB.
Como, o ângulo BED é suplementar ao ângulo de 72°, temos,
$v+72=180$
$v=180-72$
$v=102$

Como dois ângulos são iguais em BED, e 180° é o ângulo  interno do triângulo, temos,
$u+u+102=180$
$2u+102=180$
$2u=180-102$
$2u=72$
$u=36$
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Agora, temos os ângulos:
36°, x e 90° formando o triângulo maior.
Pela propriedade do ângulo interno do triãngulo temos,
$36+x+90=180$
$x+126=180$
$x=180-126$
$x=54$°

Letra B.