Question

Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A = (0,0), B = (3,4) e C = (8,0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado — AB e o vértice P sobre o lado — BC. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é

a) (4,16/5)
b) (17/4, 3)
c) (5, 12/5)
d) (11/2, 2)
e) (6, 8/5)

Answer 1

              |
              |
              |             B
              |             
              |      Q    E             P
           A|___M  _D______N__C________
            0             3                    8
seja "x" = MN = QP
seja "y" = PN
seja "D" o pé da ⊥ traçada de "B" sobre AB
seja "BD" = 4 (proposta da questão!!)
seja "BE" = 4 - y
seja "AC" = 8 (proposta da questão!!)
seja "E" o encontro de BD com QP
observando  ΔABC ≈ ΔQBP
_AC_ =  _BD_
  QP         BE
_8_ =  _4_
  x        4 - y
4x = 32 - 8y
x = 8 - 2y
seja S a área do retângulo MNPQ
então
S = xy
S = (8 - 2y)y
S = 8y - 2y²
derivando S
S' = 8 - 4y
igualando a derivada à 0 ⇒ 8 - 4y = 0 ⇒ 4y = 8 ⇒ y = 2
determinando a reta "BC" pelo sistema abaixo:
em relação ao ponto "C" ⇒ 0 = 8a + b
em relação ao ponto "B" ⇒ 4 =  3a + b
8a + b = 0
3a + b = 4
multiplicando a 1ª equação por "-1" e somando com a 2ª equação
-8a - b = 0
3a + b = 4
-5a = 4
a = -4/5
substituindo "a=-4/5" na 1ª equação
8(-4/5) + b = 0
b = 32/5
reta BC ⇒ y = -_4x_ + _32_
                           5          5
então para "y=2"
2 = - _4x_ + _32_
           5         5
10 = -4x + 32
4x = 22
x = 22/4
x = 11/2
concluímos, por fim, as coordenadas de "P" (11/2  2)
Resposta: alternativa d)

Answer 2

O que tem área máxima é aquele em que o ponto P é (11/2,2).

Observe a imagem abaixo.

Os triângulos ABC e BQP são semelhantes. Sendo assim, podemos dizer que:

AC/BE = QP/BD

8/4 = MN/(4 - PN)

2 = MN/(4 - PN)

MN = 8 - 2PN.

Veja que a área do retângulo MNPQ é igual ao produto MN.PN.

Assim, temos que:

S = MN.PN

S = (8 - 2PN).PN

S = -2PN² + 8PN.

Temos aqui uma equação do segundo grau. A área será máxima quando PN for igual a -8/2.(-2) = 2.

Como PN representa a altura, então podemos afirmar que P = (a,2).

Além disso, temos que MN = 8 - 2.2 = 4.

Observe que os triângulos AQM e ABE são semelhantes.

Assim:

AM/QM = AE/BE

AM/2 = 3/4

AM = 3/2.

Logo:

AN = 3/2 + 4

AN = 11/2, ou seja, o ponto P é (11/2,2).

Alternativa correta: letra d).

Para mais informações sobre área máxima: https://brainly.com.br/tarefa/18863328