Question

Considere o triângulo ABC cujos lados medem:
AB = 12, AC = 5 e BC = 13.
Seja D um ponto sobre o lado BC tal que os triângulos ABD e ACD tenham perímetros iguais.
A área do triângulo ABD é
(A) 30.
(B) 90/13.
(C) 15/2
(D) 25/2
(E) 60/13

Answer 1

A área do triângulo ABD é 60/13. Alternativa E.

• Observe que o triângulo ABC é retângulo pois aplicando o teorema de Pitágoras obtém-se uma sentença numérica verdadeira.:

13² = 5² + 12²

169 = 25 + 144

169 = 169  ⟹ Verdadeiro

• Observe na figura anexa onde foram anotadas algumas nomenclaturas. Se o lado BC mede 13 então CD mede 13 − a.
• Conforme o enunciado, os triângulos ABD e ACD têm perímetros iguais, então:

a + 12 + b = 5 + 13 − a + b ⟹ Reduza os termos semelhantes.

2a = 6 ⟹ Divida ambos os membros por 2.

$\boxed {\large \sf a = 3 }$

• Observe que h é a altura do triângulo HBD.
• Os triângulos ABC e HBD são semelhantes pelo caso AA (ângulo/ângulo) pois ambos possuem um ângulo reto e compartilham um ângulo no vértice B.
• Escreva uma proporção entre as razões de seus lados correspondentes.

$\large \sf \dfrac{a}{13} = \dfrac{h}{5}$  ⟹ Substitua o valor de a.

$\large \sf \dfrac{3}{13} = \dfrac{h}{5}$

$\large \sf h = \dfrac{15}{13}$

• Determine a área do triângulo ABD.

$\large \sf A = \dfrac{c \times h}{2} = \dfrac {12}{2} \cdot \dfrac{15}{13}= \dfrac{6 \cdot 15}{13}$

$\boxed {\large \sf A = \dfrac{60}{13}}$

A área do triângulo ABD é 60/13. Alternativa E.

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