Question

Um time de futebol de botão tem 72% de probabilidade de vitória sempre que joga. Se o time jogar sete partidas, calcule a probabilidade de ele: (a) vencer exatamente três partidas; (b) vencer ao menos uma partida; (c) vencer mais da metade das partidas

Answer 1

A probabilidade do time vencer:

a) três partidas é de 8,03%

b) pelo menos uma partida é de 99,987%

c) mais da metade das partidas é de 89,25%

Distribuição binomial de probabilidade

A distribuição binomial de probabilidade é calculada através da seguinte forma:

P = C(n,x)*$p^n*q^{(x-n)$

Onde:

• P é a probabilidade
• C(n,x) é a combinação de entre n e x
• p é a probabilidade de sucesso
• q é a probabilidade de fracasso
• n é o número total de possibilidades
• x é a quantidade de sucessos

Então, segundo o enunciado, temos as seguinte relações:

• p = 0,72
• q = 1 - p = 1 - 0,72 = 0,28
• n = 7 partidas jogadas

a) Para que ele vença exatamente três jogos, temos a seguinte probabilidade:

P(x = 3) = C(7,3)*$p^3*q^{7-3}$

P(x = 3) = 7!/(4!*3!)*0,72³*$0,28^4$

P(x = 3) = 7*6*5*4!/(4!*3*2)*0,373*0,00615

P(x = 3) = 0,0803

Ou seja, a probabilidade de ele vencer exatamente 3 jogos é de 8,03%

b) A probabilidade que ele vença ao menos uma partida é igual a probabilidade de negação de ele não vencer, portanto:

P(x ≥ 1) = 1 - P(x = 0)

P(x ≥ 1) = 1 - C(7,0)*$p^0*q^{7-0}$

P(x ≥ 1) = 1 - 1*1*$0,28^7$

P(x ≥ 1) = 0,999865

Ou seja, a probabilidade de ele vencer pelo menos 1 jogo é de 99,987%

c) Para que ele vença mais da metade dos jogos ele deve:

• ou vencer 4 jogos
• ou vencer 5 jogos
• ou vencer 6 jogos
• ou vencer os 7 jogos

Então, a probabilidade será a soma de cada probabilidade acima, portanto a probabilidade de:

• Vencer 4 jogos:

P(x = 4) = C(7,4)*$p^4*q^{7-4}$

P(x = 4) = 35*0,2687*0,02195

P(x = 4) = 0,2064

• Vencer 5 jogos:

P(x = 5) = C(7,5)*$p^5*q^{7-5}$

P(x = 5) = 21*0,1935*0,0784

P(x = 5) = 0,3186

• Vencer 6 jogos:

P(x = 6) = C(7,6)*$p^6*q^{7-6}$

P(x = 6) = 7*0,1393*0,28

P(x = 6) = 0,2730

• Vencer 7 jogos:

P(x = 7) = C(7,7)*$p^7*q^{7-7}$

P(x = 7) = 1*0,1003*1

P(x = 7) = 0,1003

Então a probabilidade do time vencer mais da metade dos jogos é:

P(x > 3,5) = P(x = 4) + P(x = 5) + P(x = 6) + P(x = 7)

P(x > 3,5) = 0,2064 + 0,3186 + 0,2730 + 0,1003

P(x > 3,5) = 0,8925

Para entender mais sobre distribuição binomial de probabilidade, acesse o link:

https://brainly.com.br/tarefa/5271352

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