Question

considere o triangulo ABC, com A(1, 1), B(5, 3) e C(3, 8); sejam M e N, respectivamente, os pontos médios de AC e BC.
A) escreva a equação da reta suporte que contem MN.
B) determine a medida do segmento MN.

Answer 1

Resposta da A): $y=\dfrac{x+7}{2}$  B): $\sqrt{5}$

Explicação passo-a-passo:

A)

Começamos descobrindo os pontos M e N,

como M é ponto médio de AC, então somamos as coordenadas de A e B:

$(1,1) +(3,8) = (4,9)$

e agora dividimos por 2:

$\left(\dfrac{4}{2},\dfrac{9}{2}\right) = \left(2, \dfrac{9}{2}\right)$

portanto  $M=\left(2,\dfrac{9}{2}\right)$ .

Fazemos da mesma maneira pra descobrir N:

$\dfrac{1}{2}.((5,3)+(3,8)) = \left(4,\dfrac{11}{2}\right)$

portanto $N=\left(4,\dfrac{11}{2}\right)$ .

Pra descobrir a equação da reta que passa por M e N, podemos fazer de diversas maneiras, vou fazer aqui usando a seguinte fórmula:

$(y-y_0)=m(x-x_0)$ , onde $(x_0,y_0)$ é um ponto dessa reta( no caso pode ser M ou N) e $m$ $\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\right)$é o coeficiente angular dessa reta , onde$(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ são dois pontos que pertencem essa reta (no caso usaremos M e N).

Já temos os pontos, então nos resta encontrar o valor de $m$:

$m=\dfrac{\dfrac{11}{2}-\dfrac{9}{2}}{4-2} \\ \\ m=\dfrac{\dfrac{2}{2}}{2}\\ \\ m=\dfrac{1}{2}$

Agora basta substituir na fórmula (usarei aqui o ponto N):

$(y-y_0)=m(x-x_0)\\\\\left(y-\dfrac{11}{2}\right)=\dfrac{1}{2}.(x-4) \hspace{20}(*2)\\ \\ 2y-11=x-4\\2y=x+7\\y=\dfrac{x+7}{2}$

B) Basta usar a fórmula de distância entre dois pontos:

$d(M,N) = \sqrt{(4-2)^2+\left(\dfrac{11}{2}-\dfrac{9}{2}\right)^2}\\d(M,N) = \sqrt{2^2+1^2 }\\\\d(M,n) = \sqrt{5}$

Ta aí, qualquer dúvida pode perguntar aí :)

Espero ter ajudado.