Question

Considere o sistema x + y = 3 e 2x+my=2 em que as incógnitas são X e Y e m ∈ ℝ .
Determine m ∈ ℝ de modo que o sistema :

A) admita uma única solução
B) admita infinitas soluções
C) não admita solução

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre sistemas de equações lineares.

Considere o sistema:

$\begin{cases}x+y=3\\2x+my=2\\\end{cases}$, em que $m\in\mathbb{R}$.

Devemos determinar o valor de $m$ de modo que o sistema:

a) admita uma única solução.

Para isso, reescrevamos o sistema em sua forma matricial:

$\underbrace{\begin{bmatrix}1&1\\2&m\\\end{bmatrix}}_D\cdot \begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\2\\\end{bmatrix}$

O valor de $D$ consegue classificar o sistema de acordo com a existência de soluções em dois casos distintos:

• Se $\det(D)\neq0$, o sistema é possível e determinado e apresenta apenas uma solução.
• Se $\det(D)=0$, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções ou impossível e não admite soluções.

O sistema é possível e indeterminado se, ao escalonarmos o sistema, uma das equações tem a forma $0x+0y=0$. Já quando uma das equações assume a forma $0x+0y=k,~k\neq0$, o sistema é impossível.

Assim, primeiro calculemos o valor de $m$ de modo que $\det(D)\neq0$:

$\det\left(\begin{bmatrix}1&1\\2&m\\\end{bmatrix}\right)\neq0$

O determinante de uma matriz de ordem $2$ é calculado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Assim, temos:

$1\cdot m - 1\cdot 2\neq0$

Multiplique os valores

$m-2\neq0$

Some $2$ em ambos os lados da desigualdade.

$m\neq2$

Com isso, qualquer valor de $m\in\mathbb{R}-\{2\}$ faz com que este sistema admita apenas uma única solução.

Por outro lado, quando $m=2$, o sistema pode assumir outras classificações.

$\begin{bmatrix}1&1\\2&2\\\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\2\\\end{bmatrix}$

Multiplique a primeira linha por um fator $(-2)$ e some à segunda linha:

$\begin{bmatrix}1&1\\2+1\cdot(-2)&2+1\cdot(-2)\\\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\2+3\cdot(-2)\\\end{bmatrix}\\\\\\ \begin{bmatrix}1&1\\0&0\\\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\-4\\\end{bmatrix}$

Observe que quando $m=2,~\det(D)=0$ e uma das equações do sistema é da forma $0x+0y=k,~k\neq0$, fazendo com que o sistema não admita soluções.

Sendo assim, como resposta a letra b), não existe valor de $m\in\mathbb{R}$ de modo que o sistema admita infinitas soluções e em resposta a letra c), para que o sistema seja impossível e logo, não admita soluções, $m$ deve ser igual a $2$.