Question

Considere o sistema linear
x1 − 2x2 + x3 = a
2x1 + x2 + x3 = b
5x2 − x3 = c
Encontre condições sobre a, b e c para que o sistema possua solução.

Answer 1

A condição para que o sistema possua solução é c - b + 2a = 0.

Para resolver o sistema linear, podemos utilizar o método de escalonamento.

Vamos escalonar o sistema linear dado. Escrevendo o sistema na forma de matriz, obtemos $\left[\begin{array}{ccc}1&-2&1|a\\2&1&1|b\\0&5&-1|c\end{array}\right]$. Agora, vamos fazer operações entre as linhas dessa matriz.

Fazendo L2 ← L2 + 2L1, obtemos:

$\left[\begin{array}{ccc}1&-2&1|a\\0&5&1|b-2a\\0&5&-1|c\end{array}\right]$.

Fazendo L3 ← L3 - L2, obtemos:

$\left[\begin{array}{ccc}1&-2&1|a\\0&5&1|b-2a\\0&0&-2|c-b+2a\end{array}\right]$.

Note que a matriz está escalonada, porque obtemos um triângulo de zeros no canto inferior esquerdo.

Observe que na última linha, temos o termo independente c - b + 2a.

Como queremos que o sistema linear tenha solução, então devemos ter a condição de que c - b + 2a = 0.