Question

Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x e y.

4x + y = -1
ax + 3y = 6

(a) Determine o valor do coeficiente a que torna esse sistema impossível (sem solução).

(b) Dê exemplo de um valor do coeficiente a para que o sistema tenha como solução as coordenadas de um ponto no segundo quadrante. Qual é a solução do sistema nesse caso?

(c) Dê exemplo de um valor do coeficiente a para que o sistema tenha como solução as coordenadas de um ponto no terceiro quadrante. Qual é a solução do sistema nesse caso?

(d) Dê exemplo de um valor do coeficiente a para que o sistema tenha como solução as coordenadas de um ponto no quarto quadrante. Qual é a solução do sistema nesse caso?​

Answer 1

(a) O valor do coeficiente é 12.

(b) Para a solução (-1,3), o valor do coeficiente é 3.

(c) Para a solução (-1/8, -1/2), o valor do coeficiente é -60.

(d) Para a solução (2, -9), o valor do coeficiente é 33/2.

$\dotfill$

(a) O sistema é impossível se o determinante associado aos coeficientes dos termos algébricos é zero. Assim:

det [4   1]   =   0       ⇒  12 - a = 0 ⇒  a = 12

      [a  3]

$\dotfill$

(b) Um ponto do segundo quadrante tem x negativo e y positivo. Podemos escolher, por exemplo x = -1. Substituindo na primeira equação:

4(-1) + y = -1

-4 + y = -1

y = -1 + 4

y = 3

Para satisfazer a segunda equação,

a(-1) + 3(3) = 6

-a + 9 = 6

a = 3

A solução do sistema é (-1,3)

$\dotfill$

(c) Um ponto do terceiro quadrante tem x negativo e y negativo. Podemos escolher, por exemplo x = -1/8. Substituindo na primeira equação:

4(-1/8) + y = -1

-1/2 + y = -1

y = -1 + 1/2

y = -1/2

Para satisfazer a segunda equação,

a(-1/8) + 3(-1/2) = 6

-a/8 = 15/2

a = -60

A solução do sistema é (-1/8, -1/2)

$\dotfill$

(d) Um ponto do quarto quadrante tem x positivo e y negativo. Podemos escolher, por exemplo x = 2. Substituindo na primeira equação:

4(2) + y = -1

8 + y = -1

y = -9

y = -9

Para satisfazer a segunda equação,

a(2) + 3(-9) = 6

2a = 33

a = 33/2

A solução do sistema é (2, -9)

Até mais!