Question

Considere o processo de dividir um segmento em três partes iguais e substituir o terço médio por 2 quadrados (o superior, sem a base), obtendo-se 9 segmentos de mesmo comprimento, como ilustra a figura abaixo.

A curva de Peano é o fractal obtido repetindo-se este processo indefinidamente.

Responda as seguintes perguntas referentes à curva de Peano.

Qual é a dimensão espacial da curva de Peano?

Qual é a dimensão topológica da curva de Peano?

Answer 1

Explicação passo a passo:

a) A dimensão espacial desse fractal pode ser calculada da seguinte forma:

$\mathbf{D=\dfrac{Log^{n}}{Log^{\frac{1}{R}} } }$

Consideramos os seguintes pontos:

N = Número de segmentos do fractal (9 Segmentos)

R = Fator de redução ou divisão (1/3)

Aplicando o nosso cálculo, temos que:

$\mathbf{D=\dfrac{Log^{9}}{Log^{\frac{1}{\frac{1}{3} }} } }$

Aplicando nosso conhecimento sobre frações, temos que:

$\mathbf{D=\dfrac{Log^{9}}{Log^{3} } }\rightarrow \mathbf{D=2}$

b) A dimensão topológica desse fractal é 1, uma vez que ele é constituido apenas por linhas.