Question

Considere o problema de valor inicial t.cos(t)=(2x+e3x)x', com x(0)=0. Detemine a solução implícita deste PVI.

Dica: Uma primitiva para x.cos(x) é cos(x)+x.sen(x)+C.
 

Alternativas

Alternativa 1:

t.sen(t)+cos(t)=x2+(e3x)/3.

Alternativa 2:

t.sen(t)=x2+(e3x)/3+2/3.

Alternativa 3:

t.sen(t)+cos(t)=x2+e3x+1.

Alternativa 4:

t.sen(t)+cos(t)=x2+(e3x)/3+1/3.

Alternativa 5:

t.sen(t)+cos(t)=x2+(e3x)/3+2/3.


​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{5)~t\sin(t)+\cos(t)=x^2+\dfrac{e^{3x}}{3}+\dfrac{2}{3}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta equação diferencial, devemos relembrar algumas técnicas de integração.

Considerando $x$ em função de $t$, nos foi dito que $x(0)=0$.

Observe a equação:

$t\cdot\cos(t)=(2x+e^{3x})\cdot x'$

Sabemos que a derivada da função $x$ diz respeito a $t$, logo podemos reescrever

$t\cdot\cos(t)=(2x+e^{3x})\cdot \dfrac{dx}{dt}$

Multiplicando ambos os lados pelo diferencial $dt$, temos

$t\cdot\cos(t)\,dt=(2x+e^{3x})\,dx$

Integre ambos os lados

$\displaystyle{\int t\cdot\cos(t)\,dt=\int (2x+e^{3x})\,dx}$

Para a primeira integral, utilizaremos integração por partes.

Seja $\displaystyle{I=\int t\cdot \cos(t)\,dt}$

Sabemos que $\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du}$. Logo, para aplicar este método de resolução, utilizamos o critério LIATE para escolher quem será $u$, o que, por eliminação, nos diz quem será $dv$.

Consiste em priorizarmos as funções nessa ordem: Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algébrica (ou potências), Trigonométricas e Exponenciais  potências de base $e$).

Logo, vemos que $u=t$ e $dv=cos(t)\,dt$. Pela fórmula de integração por partes, ainda temos que encontrar o diferencial $du$ e $v$. Para isso, derivamos a expressão em $u$:

$du=dt$ e integramos o diferencial $dv$: $\displaystyle{\int\,dv=v=\int \cos(t)\,dt=sin(t)}$. Substituindo na fórmula:

$I=\displaystyle{\int t\cdot\cos(t)\,dt=t\sin(t)-\int sin(t)\,dt}$

Sabemos que a integral $\displaystyle{\int \sin(t)\,dt=-\cos(t)}$, logo

$I=\displaystyle{t\sin(t)-(-cos(t))}$

Efetuando a propriedade de sinais e somando a constante de integração, temos

$I=\displaystyle{t\sin(t)+cos(t)+C_1,~C_1\in\mathbb{R}}$.

Para resolvermos a segunda integral $\displaystyle{\int 2x+e^{3x}\,dx}$, devemos lembrar que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma da integral destas funções, ou seja: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx}$.
• A integral do produto de uma constante multiplicada por uma função é igual ao produto da constante pela integral da função, isto é: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}}$.
• A integral de uma função exponencial é dada por: $\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x}$, o que normalmente fazemos substituições para chegar a este caso.

Aplique a primeira propriedade:

$\displaystyle{\int 2x\,dx+\int e^{3x}\,dx}$

Na primeira, aplique a segunda e terceira propriedades

$\displaystyle{2\cdot\int x\,dx=2\cdot \dfrac{x^{1+1}}{1+1}$

Some os valores

$\displaystyle{2\cdot\int x\,dx=\not{2}\cdot \dfrac{x^{2}}{\not{2}}}\\\\\\ \displaystyle{2\cdot\int x\,dx=x^2}$

Na segunda, considere $u=3x$, logo o diferencial $\dfrac{du}{3}=dx$

$\displaystyle{\int e^{3x}\,dx=\int e^u\cdot\,\dfrac{du}{3}}$

Aplique a segunda e quarta propriedades:

$\displaystyle{\dfrac{1}{3}\cdot \int e^u\,du=\dfrac{e^u}{3}}$

Devolva a substituição $u=3x$ e some o resultado das integrais, adicionando a constante de integração. Teremos:

$\displaystyle{\int 2x+e^{3x}\,dx=x^2+\dfrac{e^{3x}}{3}+C_2,~C_2\in\mathbb{R}$

Então, nossa solução será:

$t\sin(t)+\cos(t)+C_1=x^2+\dfrac{e^{3x}}{3}+C_2$

Utilizando o valor inicial, temos

$0\cdot\sin(0)+\cos(0)+C_1=0^2+\dfrac{e^{3\cdot 0}}{3}+C_2$

Lembrando que $\sin(0)=0$, $\cos(0)=1$ e $e^0=1$, temos

$1+C_1=\dfrac{1}{3}+C_2$

Essencialmente, podemos tratar $C_2-C_1 = C$, logo

$C_2-C_1=1-\dfrac{1}{3}$

Some as frações

$C=\dfrac{2}{3}$

Nossa solução é: $t\sin(t)+\cos(t)=x^2+\dfrac{e^{3x}}{3}+\dfrac{2}{3}$, contida na alternativa 5.