Considere o polinômio p(x) = x3 — x2 + ax — a, onde a é um número real. Se x = 1 é a única raiz real de p(x), então podemos afirmar que a) a < 0. b) a < 1. c) a > 0. d) a > 1.
Soluções para a tarefa
Como temos uma raiz do polinômio, podemos reduzir sua ordem para uma equação de segundo grau. Como x = 1 é raiz, e os coeficientes do polinômio é 1, -1, a e -a:
1 | 1 -1 a -a
x | 1
Como 1 é o primeiro coeficiente, podemos escrevê-lo novamente na linha de baixo. Agora, basta multiplicar 1 por 1 e somar ao segundo coeficiente (-1):
1 | 1 -1 a -a
x | 1 0
Repetindo o processo:
1 | 1 -1 a -a
x | 1 0 a 0
O novo polinômio é dado da seguinte forma: os três primeiros coeficientes da linha x são os coeficientes do polinômio e o último coeficiente é o resto. Portanto temos que o novo polinômio é:
Q(x) = x² + a
Como x=1 é a unica raiz real, temos que as outras duas serão complexas. Portanto, o Δ de Q(x) será menor que 0:
Δ = b² - 4ac < 0
Δ = 0 - 4(1)(a) < 0
Δ = -4a < 0
a > 0
Resposta: letra C
Como ele disse que 1 é uma raiz do polinômio, troque todo o X da expressão por 1.
Com isso, vc tem: 1³ - 1² + 1.a - a = o
Simplificando a equação: a - a = 0
Então faça as verificações dadas nas alternativas, substituindo valores para a.
a) Se a < 0, exemplo: -1 - 1 ≠ 0
b) Se a < 1, exemplo (1) : 0,5 - 0,5 = 0
exemplo (2): -1 - 1 ≠ 0
c) Se a > 0, exemplo: 1 - 1 = 0
d) Se a > 1, exemplo: 2 - 2 = 0
Por que a alternativa correta é a C, e não a D?
A alternativa D diz que para todos os números maiores que 1, a - a = 0. E isto está correto, mas, quando a tem valor 1, a equação a - a = 0 também se mostra verdadeira. Por isso, a alternativa correta é a C.
Em outras palavras, tanto C quanto D estão corretas, porém C está "mais correta" ao contemplar o valor 1 como possível resposta.
A alternativa B diz que TODOS os valores abaixo de 1 tornarão a equação a- a = 0 verdadeira. O que está errado, já que quando a assumir um valor inferior a 0, o resultado será diferente de 0 (como visto na alternativa a).