Question

Considere o paralelogramo ABCD, a seguir, de área 24 cm2. Sejam M o ponto médio do segmento CD, E o ponto de interseção entre os segmentos AC e BM e AB = 8 cm.


foto em anexo
a) Calcule a altura do paralelogramo com relação à base CD.
b) Encontre a área da figura plana hachurada em cinza.

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Answer 1

Para calcular os valores de altura e área solicitados pelo enunciado, devemos utilizar nossos conhecimentos sobre os paralelogramos, assim como sobre as razões e proporções, que podem ser construídas a partir da figura.

• Altura em reação à CD (A)

Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes, ou seja, possuem medidas iguais.

Desse modo, podemos dizer que:

$AB=CD$

Logo,

$\boxed{CD=8\: cm}$

Os paralelogramos parecem figuras muito distintas dos retângulos, mas não se engane, as áreas são calculadas da mesma forma:

$A=b\cdot h$

Sendo B a medida da base (no caso, CD) e H a altura (a distância entre os segmentos AB e CD.

Já temos o valor da área total. Igualando:

$8\cdot h = 24$

$h=\dfrac{24}{3}$

$\boxed{\boxed{h=3\: cm}}$

• Área da figura cinza (B)

A área da figura cinza nada mais é que a diferença entre a área total (24cm²) e as áreas das figuras ABC e EMC.

No caso, ABC é uma das metades do paralelogramo, pois um de seus lados é a diagonal AC. Logo:

$ABC=12\: cm^2$

(A metade da área total)

Veja que existem dois triângulos interessantes na figura: ABE e EMC. Eles são semelhantes, pois possuem dois ângulos iguais.

A soma de suas alturas é igual à altura total:

$h_1+h_2=h$

No entanto, como são semelhantes, com bases medindo AB (8cm) e MC (4cm), temos:

$\dfrac{h1}{8}=\dfrac{h2}{4}$

(Em que h2 é a altura de EMC)

$h_1=2\cdot h_2$

Substituindo na equação anterior:

$2\cdot h_2+h_2=3$

$3\cdot h_2=3$

$\boxed{h_2=1\: cm}$

Logo, a área de EMC será:

$A=\dfrac{b\cdot h}{2}$

$A=\dfrac{4\cdot 1}{2}$

$\boxed{A=2\: cm^2}$

Calculando a diferença anteriormente apresentada:

$A_{ADME}=A_t-A_{ABC}-A_{EMC}$

$A_{ADME}=24-12-2$

$A_{ADME}=12-2$

$\boxed{\boxed{A_{ADME}=10\: cm^2}}$

• Respostas

A) A altura vale 3 centímetros.

B) A área vale 10 centímetros quadrados.

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