Question

Considere o número inteiro P= 100.101.102...200, produto de 101 números sucessivos. Ao escrever-se P como um produto de fatores primos, o números de vezes que o fator 11 aparece é:

Answer 1

Olá, Islaarg.

Um número é divisível por 11 se a soma de seus algarismos de ordem ímpar menos a soma de seus algarismos de ordem par for zero ou um múltiplo de 11.
Como todos os números desta sequência, exceto o 200, são números iniciados por 1, então o valor máximo da soma de um algarismo de terceira ordem (o das centenas, sempre 1) com o algarismo de primeira ordem (o das unidades, de 0 a 9) é 1 + 9 = 10, então a soma dos algarismos de ordem ímpar menos o algarismo de segunda ordem será um número menor ou igual a 10, ou seja, sempre inferior a 11.
Desta forma, para que algum número desta sequência seja divisível por 11, devemos verificar se a soma do primeiro e do terceiro algarismo menos o segundo algarismo é igual a zero.
Esta condição é válida para apenas nove números entre 100 e 200: 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187 e 198. Estes são os números entre 100 e 200 divisíveis por 11. Se são divisíveis por 11, então podemos dizer que são múltiplos de 11. Como os múltiplos de 11 são em quantidade de nove, então podemos concluir que o fator 11 aparece nove vezes na decomposição em fatores primos do produto 100·101·102·...·199·200.