Question

Considere o número inteiro P=100*101*102*.....*200, produto de 101 inteiros sucessivos.Ao escrever-se P como um produto de fatores primos, o número de vezes que o fator 7 aparece é?

Answer 1

P =100* 101 * 102 * 103 * 105 .... 196 * 197 * 198 * 199 * 200

Reescrevendo P em fatores primos temos:

P= (2*2*5*5) * (101) * (2*3*11) * (103) * (2*2*2*13) * (3.5.7) .... (2*2*7*7) * (197) * (2*3*3*11) * (199) * (2*2*2*5*5)

Ou seja o primeiro número com fator 7 é 105 é o último número é 196.

Assim temos:

1° 7x15 ou 7x(3*5) = 105

2° 7x16 ou 7x(2*2*2*2) = 112

3° 7x17 = 119

...

7° 7x21 ou 7x(7*3) = 147 [aqui o fator 7 aparece 2 vezes]

...

14° 7x28 ou 7x(2*2*7) = 196 [aqui o fator 7 aparece 2 vezes]

Portanto, temos 14 números em que o fator sete aparece 01 vez + 02 números onde o fator 7 aparece 2 vezes. Total 16 vezes de ocorrência do fator 7.