Question

Considere o intervalo abaixo para o exercício. Se tgx = 2, qual o valor de senx X E [180°,270°]

Answer 1

Vamos pegar a relação fundamental da trigonometria e dividi-la por cos² (x).

$(\sf sen {}^{2} x + cos {}^{2} x = 1) \div cos {}^{2} x \sf \\ \\ \sf \frac{sen {}^{2} x}{cos {}^{2} x} + \frac{cos {}^{2} x}{cos {}^{2} x} = \frac{1}{cos {}^{2}x } \\ \\ \sf (\frac{senx}{cosx} ) {}^{2} + 1 = ( \frac{1}{cosx} ) {}^{2} \\ \\ \boxed{\sf tan {}^{2} x + 1 = sec {}^{2} x}$

Portanto vamos usar essa fórmula para encontrar o seno de "x".

• Note que na fórmula a tangente está ao quadrado, então teremos que elevar o valor que possuímos da tangente.

$\sf tan {}^{2} x + 1 = sec {}^{2} x \\ \\ \sf (2) {}^{2} + 1 = \frac{1}{cos {}^{2}x} \\ \\ \sf 4 + 1 = \frac{1}{cos {}^{2}x }$

De acordo com o relação fundamental, temos que cos²x é igual a:

$\sf sen {}^{2} x + cos {}^{2} x = 1 \\ \ast \: \sf cos {}^{2} x = 1 - sen {}^{2} x \: \ast$

Substituindo:

$\sf 4 + 1 = \frac{1}{1 - sen {}^{2} x} \\ \\ \sf 5 .(1 - sen {}^{2} x) = 1 \\ \\ \sf 5 - 5sen {}^{2} x = 1 \\ \\ \sf - 5sen {}^{2} x = 1 - 5 \\ \\ \sf - 5sen {}^{2} x = - 4 \\ \\ \sf sen {}^{2} x = \frac{ - 4}{ - 5} \\ \\ \sf sen{}^{2}x = \frac{4}{5} \\ \\ \sf senx = \pm\sqrt{ \frac{4}{5} } \\ \\ \sf senx = \pm \frac{2}{ \sqrt{5} } \\ \\ \sf senx = \pm \frac{2}{ \sqrt{5} } . \frac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{5} } \\ \\ \boxed{\sf senx = \pm \frac{2 \sqrt{5} }{5} }$

• A questão nos diz que o "x" está no intervalo de 180° a 270°, ou seja, no terceiro quadrante onde o seno é negativo, portanto vamos desprezar o valor positivo, sendo assim a nossa resposta igual a:

$\boxed{ \sf senx = - \frac{2 \sqrt{5} }{5} }$

Espero ter ajudado