Question

Considere o desenvolvimento de (x+1)^16

A) quantos termos tem o desenvolvimento?

B) qual é 1° termo?

C) qual é 3° termo?

Answer 1

Pelas regras do Binômio de Newton, temos:

"o desenvolvimento de (a + b)ⁿ possui n + 1 termos"

a) Em (x + 1)¹⁶, n = 16.

Logo, no desenvolvimento, teremos: 16 + 1 = 17 termos.

b)  Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de (a + b)ⁿ , sendo p um número natural, é dado por:

$T_{p+1} = C_{n,p} . a^{n-p} . b^{p}$

No caso dessa questão, temos:

a = x, b = 1, n = 16.

Como queremos saber o 1° termo, fazemos p = 0.

T₀₊₁ = T₁

T₁ = C₁₆,₀ . (x)¹⁶⁻⁰ . (1)⁰

T₁ = C₁₆,₀ . (x)¹⁶

T₁ = C₁₆,₀ . (x)¹⁶

c) Como queremos saber o 3° termo, fazemos p = 2.

Então, temos:

T₂₊₁ = T₃

T₃ = C₁₆,₂ . (x)¹⁶⁻² . (1)²

T₃ = C₁₆,₂ . (x)¹⁴

Vamos calcular a combinação C₁₆,₂.

C₁₆,₂ =     16!    

          2!.(16 - 2)!

C₁₆,₂ = 16!  

          2!.14!

C₁₆,₂ = 16.15.14!

             2.14!

C₁₆,₂ = 16.15

              2

C₁₆,₂ = 240

             2

C₁₆,₂ = 120

Voltando para o termo, temos:

T₃ = 120 . (x)¹⁴

T₃ = 120x¹⁴