Question

Considere o conjunto V abaixo. Defina sobre ele as operaçoes de adicao e
multiplicaçao por escalar usuais de matrizes. Podemos afirma que esse conjunto
é um espaço vetorial real?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Para ser um Espaço Vetorial,  deve respeitar todos os 8 Axiomas a seguir:

Seja v,u, w ∈ V,     v, u, w são Vetores

**Assumirei que estamos no corpo dos números Reais (ou seja os escalares são números reais)

Adição:

1. Associatividade: v+(u+w)=(v+u)+w
2. Comutatividade: v+u=u+v
3. Existência do elemento Neutro da Adição: u+0=u
4. Existência do oposto (inverso aditivo): u+(-u)=0

Multiplicação Por escalar:

Seja a,b ∈ R

1. Associatividade: a(bv)=(ab)v
2. Existência do elemento neutro: 1v=v

Propriedades que envolvem adição e multiplicação:

1. a(v+u)=av+au
2. (a+b)v=av+bv

V é um espaço Vetorial sobre os Reais. Assim, a, b, c, d ∈R

$V=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] ,b=c$

Vamos definir a adição e multiplicação usuais:

Adição:

Seja v,u Vetores de V. (v, u ∈ V)

$v=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]\\\\\\u=\left[\begin{array}{ccc}a'&b'\\c'&d'\end{array}\right]$

$v+u=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}a'&b'\\c'&d'\end{array}\right]\\\\\\v+u=\left[\begin{array}{ccc}a+a'&b+b'\\c+c'&d+d'\end{array}\right]$

Multiplicação:

Seja k um escalar de R:

$kv=k\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}ka&kb\\kc&kd\end{array}\right]$

Agora só precisamos verificar se respeita os 8 Axiomas:

Veremos que ele respeita, logo V é espaço vetorial!!!

Segue em anexo:

***O fato de b=c, faz com que V seja um subespaço Vetorial das Matrizes 2X2