Question

Considere o conjunto S = { v1 , v2 , v3} onde v1 = (−1, 1, 1), v2 = (−1, 1, 5) e v3 = (2,−2, -4). Sabemos que S é linearmente dependente Para escrever v3 como combinação linear de v1 e v2 , podemos multiplicálos pelos escalares: x e y tais que : A) ambos são nulos; B) x = 3y C) x e y são simétricos; D) x = y E) x = 5 e y= -4

Answer 1

Para escrever $v_3$ como combinação linear de $v_1$ e $v_2$, sendo x e y os escalares envolvidos, devemos ter

$v_3 = x \cdot v_1 + y \cdot v_2 = x(-1,1,1)+y(-1,1,5)=(-x,x,x)+(-y,y,5y) \\ v_3=(2,-2,-4)=(-x-y, \ x+y, \ x+5y)$

Igualando cada um dos componentes, temos

$(2,-2,-4)=(-x-y, \ x+y, \ x+5y) \\ \\ -x-y=2 \\ x+y = -2 \\ x+5y=4$

Trata-se de um sistema com duas incógnitas e três equações, então podemos resolvê-lo sem problemas. Utilize qualquer método que for conveniente para vc. Como exemplo, vamos tomar a terceira equação e escrevê-la da seguinte forma:

$x+5y=-4 \rightarrow (x+y)+4y=-4$

Pela segunda equação, no entanto, sabemos que x + y = -2. Substituindo, temos 

$(x+y)+4y=-4 \rightarrow -2+4y=-4 \\ \therefore 4y = -2 \\ \therefore y = -\frac{1}{2}$  

Retornando à segunda equação com o valor de y, temos 

$x + y = -2 \rightarrow x+ (-\frac{1}{2})=-2\rightarrow x=- \frac{3}{2}$

Claramente, temos que 

$x = - \frac{3}{2} = 3 (-\frac{1}{2})=3y$

Portanto, a alternativa B está correta.