Question

Considere o conjunto S de todas as sequências de 5 letras formadas com as vogais A, E, I, O e U que satisfazemsimultaneamente às duas regras abaixo:I. O número de letras A é igual ao número de letras E.II. O número de letras O é igual ao número de letras U.Por exemplo, as sequências UOIOU, AEIOU e IAEII satisfazem as duas regras acima, enquanto AAEEE não satisfaz aprimeira regra e IOIIO não satisfaz a segunda.Quantos elementos distintos possui o conjunto S?a) 243.b) 221.c) 180.d) 125.e) 120.

#UFPR
#VESTIBULAR

Answer 1

A alternativa correta é a letra b) 221.

Vamos aos dados/resoluções:

É sabido que iremos dividir em quatro condições:

- A sequência não possui as vogais A, E, O, U

- A sequência possui 1 A, E, O, U

- A sequência possui 2 A, E, O, U.

- A sequência possui todas as vogais.

Para a primeira condição, temos:

Só temos uma sequência com essa condição, que é IIIII.

Para a segunda condição:

Observe que as sequências serão da forma AEIII ou OUIII.

Como a letra I aparece 3x, então temos uma permutação com repetição.

Logo, irão existir 2.5!/3! = 2.20 = 40 sequências.  

Para a terceira condição :

As sequências serão da forma AAEEI ou OOUUII.

Novamente, utilizaremos a permutação com repetição, então terá um total de 2. 5!/2!2! = 2.30 = 60 sequências.  

Finalizando com a quarta condição:

Como as sequências serão da forma AEIOU, então calcularemos a permutação entre elas:

5! = 120 sequências.

Portanto, o total de sequências do conjunto S é igual a 1 + 40 + 60 + 120 = 221.

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)