Considere o conjunto M - (-3,-1, 0, 1, 3} e o conjunto N – {0, 1, 4, 9}. Agora, observe as relações abaixo. I. f(x)=x² II. f(x)=√x III. f(x) = x IV. f(x)=x+3 V. f(x) = -3x Qual dessas relações representa uma função f(x) de domínio Me contradomínio N? OI. OILI III. O IV. OV.
Soluções para a tarefa
Resposta:
É a III. f(x) = x
Domínio
Dada a função f de A em B, definida como y = f(x) (modo como deve ser lida a simbologia usada anteriormente), já sabemos que seu domínio é o conjunto A e que um elemento qualquer de A, representado pela letra x, é chamado variável independente.
O domínio é formado por todos os elementos que “dominam” os possíveis resultados encontrados para y em uma função. Esse conjunto é chamado por esse nome porque cada um dos seus valores determina um único resultado no outro conjunto.
Exemplo:
f: N → Z
y = 2x + 1
O domínio dessa função é o conjunto dos números naturais, ou seja:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Portanto, esses são os valores que podem substituir a variável x na função.
Contradomínio
Dada a função f de A em B, definida como y = f(x), já sabemos que o conjunto B é chamado contradomínio. A definição de função garante que cada elemento do domínio (conjunto A) é relacionado a um único elemento do contradomínio (conjunto B). Note que a palavra “cada” garante que todos os elementos do domínio são usados em uma função, mas a expressão “um único elemento do conjunto B” não garante que todos os elementos do contradomínio serão relacionados a elementos do domínio.
Utilizando o mesmo exemplo anterior:
f: N → Z
y = 2x + 1
Note que o contradomínio dessa função é definido no conjunto dos números inteiros. Entretanto, sabemos que “2x + 1” terá como resultado apenas números ímpares. Portanto, o conjunto Z contém todos os elementos que se relacionam a elementos do domínio, não sendo necessariamente seus únicos elementos.
Dentre as relações listadas, a que representa uma função de M em N é a da alternativa I.
Função
Para que a relação entre os conjuntos M e N seja uma função, cujo domínio é o conjunto M e o contradomínio é o conjunto N, é necessário e suficiente que:
- Todo elemento de M possui imagem pertencente ao conjunto N.
- A imagem de cada elemento em M seja única.
Dessa forma, vamos analisar as alternativas dadas. Para a relação descrita em I teremos o conjunto {(-3, 9), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (3, 9)}, pois cada imagem é calculada pela expressão x². Podemos afirmar que essa relação define uma função de M em N.
Analisando a relação descrita em II, podemos observar que o valor -3 não terá um valor correspondente em N, logo, ela não é uma função.
O valor -3 não pertence ao conjunto N, logo, a imagem de -3 pela relação descrita em III não pertence ao conjunto N. Consequentemente, temos que, essa relação não é uma função.
Para x = 0, temos que x + 3 = 3, e como 3 não pertence ao conjunto N, a relação dada em IV não é uma função.
Substituindo x = -1 na expressão f(x) = -3x, obtemos o resultado 3, o qual não pertence ao conjunto N. Portanto, a relação V não é uma função.
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