Question

Considere o círculo de centro C e raio 4 cm e o triângulo ABD representados na figura ao lado. Sabendo que o ângulo ???? mede 120° e que o segmento AD passa pelo centro do círculo e mede 7 cm, calcule: a) A área do setor circular delimitado pelos segmentos CA e CB. b) O tamanho dos lados AB e BD do triângulo ABD.

#UFPR
#VESTIBULAR

Answer 1

a) encontramos o setor circular pela equação da área de um círculo $A=\pi r^2$

Observe que o angulo de 120º equivale a $\frac{1}{3}$ do angulo de 360º pois  $\frac{120}{360}=\frac{12\times1}{12\times3}=\frac{1}{3}$.

Portanto, a área deste setor será 1/3 da área do disco todo.

como o raio mede 4cm, teremos que a área do disco todo é $\pi 4^2=16\pi$

Logo, a área do setor será $\frac{16\pi}{3}$

b) podemos encontrar o tamanho do lado AB pela lei dos cossenos

$AB^2=AC^2+BC^2-2AB\times BC \times cos(120^\circ)$

E temos que AB é igual a BC pois são o raio de medida 4.

$AB^2=4^2+4^2-2\times16 \times cos(120^\circ)$

$AB^2=32-32 \times cos(120^\circ)$

por fim, desenhando no ciclo trigonométrico, vemos que

$cos(120^\circ)=-cos(60^\circ) = -0,5$

Assim a nossa lei dos cossenos fica

$AB^2=32+16$

$AB^2=48$

$AB=\sqrt{48}=6,928$

Portanto AB mede aproximadamente 7cm (pois $\sqrt{49}=7$

O lado BD também pode ser encontrado pela lei dos cossenos:

$BD^2=CB^2+CD^2-2CB\times CD\times cos(180-120)$

$BD^2=4^2+3^2-2\times4\times 3\times cos(60)$

$BD^2=25-12$

$BD=\sqrt{13}=3.606$