Question

considere funçao f(x)=4x"-20x+(m-10) e calcule o valorde m para que f(x) assuma valores positivos para todo x real.

Answer 1

VAMOS AOS DADOS:

a = 4
b = -20
c = (m-10)

Bem agora olhando para a função podemos identificar que a > 0, portanto, a parábola será voltada para cima.

LEMBRETE:

Δ = 0 ; Tem duas raízes iguais.
Δ > 0 ; Tem duas raízes diferentes.
Δ < 0 ; Não a raízes reais.

ENTÃO:

Para que a parábola seja sempre positiva não pode ter raízes ou seja Δ < 0.
Na função quadrática que conhecemos para se achar o valor de Δ, usa-se:
Δ = b² - 4*a*c, porém queremos que o valor de x assuma valores positivos então iremos mudar um sinal para que a formula se adapte ao que desejamos.
  
CÁLCULOS:

Adaptando a formula e substituindo os valores teremos.

b² - 4*a*c > 0
(-20)² - 4*4*(m - 10) > 0
400 - 16*(m -10) > 0
400 - 16m + 160 > 0
400 + 160 > 16m
m > 560/16
m > 35

Resposta: Para que a f(x) assuma valores positivos para todo x real m deve ser maior que 35.

Espero que ajude.

Answer 2

Como o coeficiente que acompanha x² é positivo, essa função possuirá imagens reais e exclusivamente positivas quando seu discriminante for negativo, isto é, Δ < 0. 

Geometricamente o gráfico da função estará totalmente acima do eixo x. 

Vamos determinar o valor do discriminante (Δ):

$\mathsf{4x^2-20x+(m-10)}\\\downarrow\hspace{24}\downarrow\hspace{34}\downarrow\\\mathsf{a\hspace{24}b\hspace{34}c}\\\\\\\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\\mathsf{\Delta=(-20)^2-4\cdot4\cdot(m-10)}\\\\\mathsf{\Delta=400-16\cdot(m-10)}\\\\\mathsf{\Delta=400-16m+160}\\\\\mathsf{\Delta=560-16m}$

Façamos Δ < 0

$\mathsf{560-16m\ \textless \ 0}\\\\\mathsf{-16m\ \textless \ -560}\\\\\mathsf{16m\ \textgreater \ 560}\\\\\mathsf{m\ \textgreater \ \dfrac{560}{16}}\\\\\mathsf{m\ \textgreater \ 35~~~~(resposta)}$