Question

Considere as soluções da equação |x|² + 3|x| - 4 = 0 e, em seguida, assinale a alternativa correta:


a) Só existe uma solução.

b) A soma das soluções é -3;

c) A soma das soluções é zero;

d) O produto das soluções é 1;

e) O produto das soluções é -4.

Answer 1

Alternativa correta é a letra C.

Equações modulares são aquelas em que a incógnita aparece dentro de módulos.

$\displaystyle \sf \mid x\mid^2 + 3\cdot \mid x \mid - 4 = 0$

Para resolver este tipo de equação, usaremos um artifício de cálculo:

uma variável auxiliar:

Fazendo $\textstyle \sf \mid x \mid = y$, com $\textstyle \sf y \geq 0$:

$\displaystyle \sf y^2 +3y - 4 = 0$

Determinar o Δ:

$\displaystyle \sf \Delta = b^2 -\:4ac$

$\displaystyle \sf \Delta = 3^2 -\:4 \cdot 1 \cdot (-4)$

$\displaystyle \sf \Delta = 9 + 16$

$\displaystyle \sf \Delta = 25$

Determinar as raízes da equação:

$\displaystyle \sf y = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\,3 \pm \sqrt{ 25 } }{2 \cdot 1}$

$\displaystyle \sf y = \dfrac{-\,3 \pm 5 }{2 } \Rightarrow\begin{cases} \sf y_1 = &\sf \dfrac{-\,3 + 5}{2} = \dfrac{2}{2} = \;1 \\\\ \sf y_2 = &\sf \dfrac{-\,3 - 5}{2} = \dfrac{- 8}{2} = - 4 \quad \to {\text{\sf n{\~a}o serve }} \end{cases}$

Voltando a condição:

$\displaystyle \sf \mid x \mid = y$

$\displaystyle \sf \mid x \mid = 3$

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf x_1 = 3 }$

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf x_2 = -\:3 }$

a) Só existe uma solução.

Tem duas raízes:

x' = 3  ou x'' = - 3.

$\large {\textbf{\sf Falso }} \gets$

b) A soma das soluções é -3;

$\displaystyle \sf Soma = x_1 +x_2$

$\displaystyle \sf Soma = 3 + (-3)$

$\displaystyle \sf Soma = 3 - 3$

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf Soma = 0 }$

$\large \text {\textbf{\sf Falso }} \gets$

c) A soma das soluções é zero;

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf Soma = 0 }$

$\large \text {\textbf{\sf Verdadeiro }} \gets$

d) O produto das soluções é 1;

$\displaystyle \sf Produto = x_1 \cdot x_2$

$\displaystyle \sf Produto = 3 \cdot (-3)$

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf Produto = -\:9 }$

$\large \text {\textbf{\sf Falso }} \gets$

e) O produto das soluções é -4.

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf Produto = -\:9 }$

$\large \text {\textbf{\sf Falso }} \gets$

Alternativa correta é o item C.

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