Question

Considere as sequências (a, 7, b,..) uma PA decrescente; (a - 6, 8, b + 12, ...) uma PG crescente. Assim, o valor de a + b^2 é igual a: - Não consigo chegar até as raízes para determinar "a" e "b".

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Luciano, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.

Temos as seguintes informações:

PA decrescente: (a; 7; b; ...)
PG crescente: (a-6; 8; b+12; ...)

Agora note isto:

i) Para a PA a razão (r) é encontrada subtraindo-se cada termo antecedente do seu respectivo consequente. Logo, para a PA, teremos que a razão (r) é constante e será encontrada assim:

b - 7 = 7 - a ---- passando "-7" para o 2º membro, teremos;
b = 7 - a + 7
b = 14 - a     . (I)

ii) Para a PG, a razão "q" é encontrada pela divisão de cada termo consequente pelo seu respectivo antecedente. Logo, para a PG a razão (q) é constante é será encontrada assim:

(b+12)/8 = 8/(a-6) ---- multiplicando em cruz, teremos
(a-6)*(b+12) = 8*8 ---- efetuando os produtos indicados, teremos;
ab+12a - 6b-72 = 64 ---- passando "64" para o 1ºmembro, temos;
ab+12a - 6b - 72 - 64 = 0 --- reduzindo os termos semelhantes:
ab+12a - 6b - 136 = 0 --- mas já vimos, conforme a expressão (I), que b = 14-a. Então vamos na expressão acima e substituiremos "b" por "14-a". Logo:
a*(14-a)+12a - 6*(14-a) - 136 = 0 --- efetuando os produtos indicados:
14a - a² + 12a - 84 + 6a - 136 = 0 --- reduzindo os termos semelhantes:
32a - a² - 220 = 0 ----- para facilitar, vamos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos;

-32a + a² + 220 = 0 ---- ordenando, ficaremos com:
a² - 32a + 220 = 0 --- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

a' = 10
a'' = 22.

iii) Agora veja: pela expressão (I), temos que:

b = 14 - a

iii.1) Para a = 10, teremos:

b = 14 - 10
b = 4.

Assim, como vimos aí em cima, temos que: se a = 10, teremos b = 4.

iii.2) Para a = 22, teremos

b = 14 - 22
b = - 8.

Assim, como vimos aí em cima, temos que se a = 22, teremos b = - 8.

iv) Agora vamos ver se ao substituirmos "a" por "10" e "b" por "4", iremos ter uma PA decrescente e uma PG crescente.

Para a PA, que é esta:

(a; 7; b) = (10; 7; 4; ...) <-- Veja que teremos uma PA decrescente realmente.

Para a PG, que é esta:

(a-6; 8; b+12; ...) = (10-6; 8; 4+12; ...) = (4; 8; 16; ....) <--- veja que teremos uma PG crescente realmente.

Note que se tomarmos a = 22 e b = - 8, teríamos uma PA decrescente realmente, mas uma PG também decrescente. E a PG deverá ser crescente conforme vimos no enunciado da questão.

Logo, só tomaremos a = 10 e b = 4 , que são os valores que nos servem, ou seja, que são os únicos valores que nos dão uma PA decrescente e uma PG crescente.

v) Agora vamos ao que está sendo pedido, que é isto:

a + b² = 10 + 4² = 10 + 16 = 26 <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.