Question

Considere as seguintes funções:
$f(x)=k\sin(2x)\quad,\;k\in\mathbb{R}$
$g(x)=k\cos(x)\quad,\;k\in\mathbb{R}$

Destas funções, sabe-se que:
$D_f=D_g=\left[-\dfrac{\pi}{2}\;;\;\dfrac{\pi}{2}\right]$

Sabe-se ainda que, num referencial ortonormado do plano, os pontos A, B e C são resultado da interseção dos gráficos destas funções, sendo A o ponto de menor abcissa e C o ponto de maior abcissa.
Estes 3 pontos formam um triângulo retângulo em B.

Determine, sem recorrer a uma calculadora, o valor de k.

Answer 1

Olá, boa noite.

Dadas as funções $f(x)=k\cdot\sin(2x)$ e $g(x)=k\cdot\cos(x),~k\in\mathbb{R}$, sabe-se que seus domínios $\mathcal{D}_f$ e $\mathcal{D}_g$ são iguais ao intervalo $\left[-\dfrac{\pi}{2},~\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Os pontos de intersecção $A,~B$ e $C$ são tais que $f(x) = g(x)$, logo fazemos:

$k\cdot\sin(2x)=k\cdot\cos(x)$

Lembre-se que $\sin(2x)=2\cdot\sin(x)\cdot\cos(x)$. Se $k\neq0$, vale que:

$k\cdot2\cdot\sin(x)\cdot\cos(x)= k\cdot\cos(x)\\\\\\ 2\sin(x)=1$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $2$

$\sin(x)=\dfrac{1}{2}$

Calcule o arcoseno de ambos os lados da igualdade

$\arcsin(\sin(x))=\arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right)\\\\\\ x= \dfrac{\pi}{6}+2\cdot n\cdot \pi,~n\in\mathbb{Z}$.

Veja que os valores de $x$ que pertencem aos domínios das funções são tais que:

$-\dfrac{\pi}{2}\leq \dfrac{\pi}{6}+2n\pi \leq \dfrac{\pi}{2}$

Subtraindo $\dfrac{\pi}{6}$ em ambos os lados das desigualdades, temos:

$-\dfrac{2\pi}{3}\leq 2n\pi \leq \dfrac{\pi}{3}$

Divida ambos os lados das desigualdades por um fator $2\pi$

$-\dfrac{1}{3}\leq n\leq \dfrac{1}{6}$

O único valor inteiro que satisfaz estas desigualdades é $n=0$, dessa forma um dos pontos de intersecção destas funções tem abscissa $x=\dfrac{\pi}{6}$.

Calculando o valor de qualquer uma das funções neste ponto, teremos:

$f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=g\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=k\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Os outros dois pontos podem ser encontrados nos extremos do intervalo. Note que ao substituírmos $x=-\dfrac{\pi}{2}$ e $x=\dfrac{\pi}{2}$ nas funções, teremos:

$f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=k\cdot\sin\left(2\cdot\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)=k\cdot\sin(-\pi)=0\\\\\\f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=k\cdot\sin\left(2\cdot\dfrac{\pi}{2}\right)=k\cdot\sin(\pi)=0\\\\\\ g\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=k\cdot\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=0\\\\\\ g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=k\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$

Dessa forma, determinamos que os pontos de intersecção destas funções são: $\left(-\dfrac{\pi}{2},~0\right),~\left(\dfrac{\pi}{6},~k\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ e $\left(\dfrac{\pi}{2},~0\right)$.

Sabemos que, num referencial ortonormado do plano (isto é, um plano cujos vetores $\hat{i}$ e $\hat{j}$ são ortogonais e tem a mesma norma), o ponto $A$ é o de menor abscissa, $C$ é o de maior abscissa e o triângulo formado ao unir estes pontos é retângulo em $B$.

De acordo com os cálculos feitos acima, resta que os pontos serão $A=\left(-\dfrac{\pi}{2},~0\right)$, $B=\left(\dfrac{\pi}{6},~k\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ e $C=\left(\dfrac{\pi}{2},~0\right)$.

Então, utilizaremos o produto escalar de dois vetores para calcular o valor de $k$.

O segmento de reta que une os pontos $A$ e $B$ é $\overline{AB}$, em que $\overline{AB}=B-A$, tal como o segmento de reta que une os pontos $B$ e $C$.

A diferença entre dois vetores é igual a outro vetor cujas componentes são a diferenças das componentes destes vetores. Assim, temos que:

$\overline{AB} = \left(\dfrac{\pi}{6},~k\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)-\left(-\dfrac{\pi}{2},~0\right) = \left(\dfrac{2\pi}{3},~k\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$\overline{BC} = \left(\dfrac{\pi}{2},~0\right)-\left(\dfrac{\pi}{6},~k\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \left(\dfrac{\pi}{3},\,-k\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Dado que o triângulo $\triangle{ABC}$ é retângulo em $B$, os vetores que determinam os segmentos $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ são ortogonais. Logo, vale que o produto escalar $\left<\overline{AB},~\overline{BC}\right>=0$.

O produto escalar de dois vetores é igual a soma dos produtos respectivos de suas coordenadas: $\left<(x_0,~y_0),~(x_1,~y_1)\right>=x_0\cdot x_1+y_0\cdot y_1$, então:

$\left<\left(\dfrac{2\pi}{3},~k\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right),~ \left(\dfrac{\pi}{3},\,-k\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right>=0\\\\\\ \dfrac{2\pi}{3}\cdot\dfrac{\pi}{3}+k\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-k\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=0\\\\\\ \dfrac{2\pi^2}{9}-\dfrac{3k^2}{4}=0$

Some  $\dfrac{3k^2}{4}$ em ambos os lados da igualdade

$\dfrac{3k^2}{4}=\dfrac{2\pi^2}{9}$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $\dfrac{3}{4}$

$k^2=\dfrac{8\pi^2}{27}$

Calcule a raiz quadrada em ambos os lados da igualdade.

$k=\pm\sqrt{\dfrac{8\pi^2}{27}}\\\\\\ k =\pm~\dfrac{2\pi\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$

Estas são as soluções para o valor de $k$ que buscávamos. Observe a imagem em anexo. Os pontos $A,~B$ e $C$ formam um triângulo retângulo em $B$.