Question

Considere as retas r e s, paralelas entre si. Sobre a reta r, marcam-se 3 pontos distintos: A, B e C; sobre a reta s, marcam-se dois pontos distintos: D e E. Escolhendo ao acaso um polígono cujos vértices coincidam com alguns desses pontos, a probabilidade de que o polígono escolhido seja um quadrilátero é

Answer 1

Podemos formar triângulos ou quadriláteros

Triângulos

Para formar um triângulo precisamos escolher $3$ pontos. Temos dois casos: escolhemos $2$ pontos da reta $r$ e $1$ da reta $s$ ou escolhemos $1$ ponto da reta $r$ e $2$ pontos da reta $s$.

No primeiro caso temos $\dbinom{3}{2}\cdot\dbinom{2}{1}=3\cdot2=6$ triângulos e no segundo caso $\dbinom{3}{1}\cdot\dbinom{2}{2}=3\cdot1=3$. Assim, podem ser formados $6+3=9$ triângulos.

Quadriláteros

Para formar um quadrilátero temos somente uma possibilidade: escolher $2$ pontos da reta $r$ e $2$ pontos da reta $s$. Isso pode ser feito de $\dbinom{3}{2}\cdot\dbinom{2}{2}=3\cdot1=3$ maneiras. Logo, podem ser formados $3$ quadriláteros.

Deste modo, há $9+3=12$ casos possíveis, dos quais $3$ são favoráveis. Portanto, a probabilidade procurada é $\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$

Veja os 12 polígonos nas imagens em anexo