Question

Considere as retas no R², r1: y = 3.x – 3, r2 : y = 5.x – 7 e r3 : y = -2.x + 4. Sendo P o ponto de interseção das retas r1 e r2, encontre a equação da reta r que passa por P e é perpendicular a r3

Answer 1

Primeiro calculamos o ponto P, ou seja, o ponto de intersecção entre r1 e r2:

$\left \{ {{y=3x-3} \atop {y=5x-7}} \right. \\ \\ 3x-3 = 5x-7 \\ -3+7 = 5x - 3x \\ 4 = 2x \\ x = 2 \\ \\ y = 3x-3 \\ y= 3*2 - 3 \\ y= 3$

Logo P(2,3), assim a reta que passa por esse ponto deve ser perpendicular a reta r3, ou seja, o coeficiente angular das duas retas deve ser -1:

cp = coeficiente angular da reta que passa por P (reta r);
c₃ = coeficiente angular da reta r3;

$cp*c_{3} = -1 \\ \\ cp = -\dfrac{1}{c_{3}}$

Como r3: y = -2x + 4, o coeficiente angular é -2:

$cp = -\dfrac{1}{-2} \to cp = \dfrac{1}{2}$

Assim a reta que passa por P (reta r) é:

$y - y_{p} = cp*(x-x_{p}) \\ \\ y - 3 = \frac{1}{2} *(x-2) \\ \\ y = \frac{1}{2}x - 1 + 3 \\ \\ y = \frac{1}{2}x + 2}$