Question

Considere as retas de equações paramétricas: r = (t , t+1 , 2t-1) e s = (2t+1 , t , t) e um plano π que contém a reta s e é paralelo à reta r. Determine a distância do plano π ao ponto P(-1,3,0).

Answer 1

r=(0,1,-1)+(t,t,2t)=(0,1,-1)+t(1,1,2) => v=(1,1,2)
s=(1,0,0)+(2t,t,t)=(1,0,0)+t(2,1,1) => v=(2,1,1)
vetor normal n
n=rxs =$\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&1&2\\2&1&1\end{array}\right] =-1i+3j-k$

n=rxs=(-1,3,-1)
temos que a=-1, b=3 e c=-1
a equação do plano é dado:

ax+by+cz+d=0
-1x+3y-z+d=0
o ponto (1,0,0) pois pertence ao plano porque pertence a s
-1.1+3.0-0+d=0 =>-1+d=0 => d=1
logo  a equação do plano
-x+3y-z+1=0

$d(\pi,p_0)= \frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{ \sqrt{a^2+b^2+c^2} } \\ d(\pi,p_0)= \frac{-x_0+3y_0-z_0+1}{ \sqrt{(-1)^2+3^2+(-1)^2} } \\ d(\pi,(-1,3,0))= \frac{-(-1)+3.3-0+1}{ \sqrt{(-1)^2+3^2+(-1)^2} } \\ d(\pi,(-1,3,0))= \frac{11}{ \sqrt{11} } \\ d(\pi,(-1,3,0))= \frac{121 \sqrt{11} }{ 11 } \\ d(\pi,(-1,3,0))= 11 \sqrt{11}$