Question

considere as matrizes abas e determine as matrizes inversas se possível ​


deixa o cálculo pfvr

Answer 1

Resposta:

$a) A^{-1} = \frac{1}{7}\left[\begin{array}{cc}1&2\\-3&1\end{array}\right]$

$b) B^{-1} = \frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}4&-1\\-3&2\end{array}\right]$

$c) C^{-1} = \frac{1}{-13} \left[\begin{array}{ccc}-5&4&-2\\12&-7&-3\\-4&-2&1\end{array}\right]$

Explicação passo a passo:

Inversa da matriz A:

$A = \left[\begin{array}{cc}1&-2\\3&1\end{array}\right]$

Para uma matriz 2x2, encontra-se primeiro o determinante:

$det(A) = 1*1 - 3*(-2) = 1 + 6\\ det(A) = 7$

Como o determinante é diferente de 0, a matriz A possui inversa, que pode ser encontrada invertendo a posição dos valores da diagonal principal, e invertendo o sinal da diagonal secundária.

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}\left[\begin{array}{cc}1&2\\-3&1\end{array}\right]\\\\A^{-1} = \frac{1}{7}\left[\begin{array}{cc}1&2\\-3&1\end{array}\right]$

Inversa da matriz B:

$B = \left[\begin{array}{cc}2&1\\3&4\end{array}\right]$

O determinante será:

$det(B) = 2*4 - 3*1 = 8 - 3\\ det(B) = 5$

Como o determinante é diferente de 0, a matriz B possui inversa, que pode ser encontrada de maneira semelhante ao caso do item a).

$B^{-1} = \frac{1}{det(B)}\left[\begin{array}{cc}4&-1\\-3&2\end{array}\right]\\\\B^{-1} = \frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}4&-1\\-3&2\end{array}\right]$

Inversa da matriz C:

$C = \left[\begin{array}{ccc}1&0&2\\0&1&3\\4&2&1\end{array}\right]$

O determinante de uma matriz 3x3 pode ser determinado pela regra de Sarrus:

$det(C) = \left[\begin{array}{ccc}1&0&2\\0&1&3\\4&2&1\end{array}\right]\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\4&2\end{array}\\\\det(C) = 1*1*1+0*3*4+2*0*2-(4*1*2+2*3*1+1*0*0) = 1 - 14 = -13$

Como o determinante é diferente de 0, a matriz C possui inversa.

Um dos métodos para poder encontrar a inversa de uma matriz 3x3 é através da matriz adjunta ou também pelo método da redução linear. Aqui será apresentado o método da matriz adjunta.

Passo 1: Formar a matriz C transposta

$C = \left[\begin{array}{ccc}1&0&2\\0&1&3\\4&2&1\end{array}\right]\\C^{T} = \left[\begin{array}{ccc}1&0&4\\0&1&2\\2&3&1\end{array}\right]$

Passo 2: Calcule o determinante de cada uma das matrizes 2x2 menores

Menores da 1º coluna:

$M_{1}(C^{T}) = \left[\begin{array}{cc}1&2\\3&1\end{array}\right]\\M_{2}(C^{T}) = \left[\begin{array}{cc}0&4\\3&1\end{array}\right]\\M_{3}(C^{T}) = \left[\begin{array}{cc}0&4\\1&2\end{array}\right]$

Menores da 2º coluna:

$M_{4}(C^{T}) = \left[\begin{array}{cc}0&2\\2&1\end{array}\right]\\M_{5}(C^{T}) = \left[\begin{array}{cc}1&4\\2&1\end{array}\right]\\M_{6}(C^{T}) = \left[\begin{array}{cc}1&4\\0&2\end{array}\right]$

Menores da  3º coluna:

$M_{7}(C^{T}) = \left[\begin{array}{cc}0&1\\2&3\end{array}\right]\\M_{8}(C^{T}) = \left[\begin{array}{cc}1&0\\2&3\end{array}\right]\\M_{9}(C^{T}) = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Determiantes dos menores:

$det(M_{1}) = -5\\det(M_{2}) = -12\\det(M_{3}) = -4\\det(M_{4}) = -4\\det(M_{5}) = -7\\det(M_{6}) = 2\\det(M_{7}) = -2\\det(M_{8}) = 3\\det(M_{9}) =1$

Passo 3: Crie a matriz de co-fatores

$adj(M) = \left[\begin{array}{ccc}-5&-4&-2\\-12&-7&3\\-4&2&1\end{array}\right] x \left[\begin{array}{ccc}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{array}\right]\\\\adj(M) = \left[\begin{array}{ccc}-5&4&-2\\12&-7&-3\\-4&-2&1\end{array}\right]$

Com o seguinte posicionamento

$\left[\begin{array}{ccc}det(M_1)&det(M_4)&det(M_7)\\det(M_2)&det(M_5)&det(M_8)\\det(M_3)&det(M_6)&det(M_9)\end{array}\right] x \left[\begin{array}{ccc}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{array}\right]$

Ou também

$adj(M) = \left[\begin{array}{ccc}+det(M_1)&-det(M_4)&+det(M_7)\\-det(M_2)&+det(M_5)&-det(M_8)\\+det(M_3)&-det(M_6)&+det(M_9)\end{array}\right]$

Obs.: Nesta operação, forma-se a matriz M com os determinantes calculados das matrizes 2x2 menores e inverte-se os sinais dos valores nas respectivas posições com o sinal "-" (menos)

A matriz inversa será então:

$C^{-1} = \frac{1}{det(C)}adj(M)\\\\C^{-1} = \frac{1}{-13} \left[\begin{array}{ccc}-5&4&-2\\12&-7&-3\\-4&-2&1\end{array}\right]$