Question

Considere as matrizes A, B e a um numero real qualquer, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:

1. (A+B)t = At + Bt

2. (a•A)t = a • At

3. (At)t = A

4 (A•B)t = At • Bt

Answer 1

Dentre as afirmações dadas sobre propriedades da transposta de uma matriz, apenas a quarta afirmação está errada.

Introdução

Sejam duas matrizes $A$ é $B$ é seja $a$ uma constante.

A transposta de uma matriz $A=(a_{ij}) _{m\times n}$ é definida por uma nova matriz $C$ de tamanho $n\times m$ tal que:

$C=A^t$

obtida ao trocar as linhas pelas colunas $c_{ij} =a_{ji}$

Análise das afirmativas

Vamos analisar cada uma das operações feitas

1. $(A+B)^t = A^t + B^t$ verdadeiro

$[(A+B) ^t] _{ij} =[A+B] _{ji} =a_{ji}+b_{ji}=A^t+B^t$

2. $(\alpha A)^t = \alpha A^t$ verdadeiro

$[(\alpha A)] _{ij} ^t = [\alpha A] _{ji} =\alpha a _{ji}=\alpha [A] ^t$

3. $(A^t)^t = A$ verdadeiro

$[(A^t) ^t] _{ij} =(A^t) _{ji} = [A]_{ij} =A$

4 $(AB)^t = A^t B^t$ falso

$[(AB)^t]_{ij} = (AB)_{ji} =\sum_{k=1}^{p}a_{jk} b_{ki} =[A^t}] _{kj} [B^t] _{ik} =[B^t}] _{ik} [A^t] _{kj} =B^t A^t$

Note que mudamos a posição entre a e por causa da forma como é definido o produto de matrizes.