Question

Considere as funções x f(x) 3 = e 3 g(x) x , = definidas para todo número real x. O número de soluções da equação f(g(x)) g(f(x)) = é igual a.

Answer 1

Tendo a função composta dada, ao resolvê-la tem-se que sua resposta é uma função de terceiro grau, ou seja, só haverão três soluções que satisfaçam a equação.

Função composta

A função composta, na matemática, é dada pela seguinte forma: f(g(x)). Onde há uma função dentro e outra função, neste caso, g(x) está dentro de f(x).

Para a questão dada, temos:

$f(x)=3^x\\\\g(x)=x^3$

Tem-se que f(g(x))=g(f(x)), portanto:

$f(g(x))=3^{x^3}\\\\e\\\\g(f(x))=3^{x^3}=3^{3x}$

Igualando-as, temos:

$3^{x^3}=3^{3x}$

Em uma equação exponencial, tem-se:

$\boxed{a^c=a^b \rightarrow c=a}$

Então, seguindo a propriedade:

$x^3=3x$

Agora, como há uma equação de terceiro grau, o número de soluções é igual a 3.

Segue a questão completa:

"Considere as funções f(x) = 3^x e g(x) = x^3, definidas para todo número real x. O número de soluções da equação f(g(x)) = g(f(x)) é igual a"

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