Question

Considere as funções reais f e g, tais que f(x) = 3x - 1 e (fog)(x) = 4x + 7.
Para que valores de x a função gé negativa?​

Answer 1

Quando x < -2, a função g é negativa.

Vamos considerar que a função g é igual a g(x) = ax + b.

De acordo com o enunciado, temos que a função composta f(g(x)) é igual a 4x + 7. Sendo f(x) = 3x - 1, então:

4x + 7 = 3(ax + b) - 1

4x + 7 = 3ax + 3b - 1.

Comparando as igualdades, podemos montar o seguinte sistema linear:

{3a = 4

{3b - 1 = 7.

Da primeira equação, encontramos a = $\frac{4}{3}$. Já da segunda equação, temos que o valor de b é igual a:

3b = 7 + 1

3b = 8

b = $\frac{8}{3}$.

Portanto, a lei de formação da função g é igual a $g(x) = \frac{4}{3}x + \frac{8}{3}$.

Agora, vamos verificar os valores de x que tornam a função g negativa. Então, devemos resolver a inequação $\frac{4}{3}x + \frac{8}{3}<0$. Assim:

4x + 8 < 0

4x < -8

x < -2.