Question

Considere as funções f(x) = x² – 7x + 11 e g(x) = 3x – 5, em que x é um número real. Sabendo que a e b, com a < b, são os valores de x para os quais f(x) = g(x), julgue a seguinte afirmativa: Se a e b são 2 termos de uma progressão geométrica, de 3 termos, em que a é o menor termo e a razão é superior a 3, então a soma dos termos dessa progressão é inferior a 45.

Answer 1

$\mathrm{Seja}\ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\ \mathrm{tal\ que}\ f(x)=x^2-7x+11.$

$\mathrm{Seja}\ g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\ \mathrm{tal\ que}\ g(x)=3x-5.$

$\mathrm{Sejam}\ a\ \mathrm{e}\ b\ (a<b)\ \mathrm{os\ valores\ de}\ x\ \mathrm{tais\ que}\ f(x)=g(x).$

$f(x)=g(x)\Longrightarrow x^2-7x+11=3x-5\Longrightarrow x^2-10x+16=0$

$\Longrightarrow x=\dfrac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4(1)(16)}}{2(1)}=\dfrac{10\pm\sqrt{36}}{2}=5\pm3$

$\Longrightarrow \boxed{a=2}\ \text{e}\ \boxed{b=8}$

$\mathrm{Se}\ a\ \text{e}\ b\ \mathrm{s\tilde{a}o\ termos\ de\ uma\ PG\ com}\ n=3\ \text{e}\ q>3\text{:}$

$a\ \mathrm{\acute{e}\ o\ menor\ termo}\Longrightarrow \{a,b,c\}\Longrightarrow \{2,8,c\}$

$q=\dfrac{8}{2}\Longrightarrow q=4\Longrightarrow q>3$

$\Longrightarrow \{2,8,c\}\Longrightarrow \{2,8,32\}$

$\mathrm{Soma\ dos\ termos}\Longrightarrow S=2+8+32$

$\Longrightarrow S=42\Longrightarrow\ \boxed{S<45}\ \blacksquare$

$\mathbf{A\ afirmativa\ \acute{e}\ verdadeira.}$