Question

Considere as funções f(x) = $2x^{2} + 4x + 56$ e g(x) = 4x + $4x^{2}$. Sabendo que h(x) é uma função racional tal que h(x) = g(x) / f(x), determine o valor L para o qual as imagens da função h(x) tornam-se próximas quando x tende a menos infinito.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{L=2~~\checkmark}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Sejam as funções $f(x)=2x^2+4x+56$ e $g(x)=4x+4x^2$.

Sabendo que $h(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}$, devemos calcular o valor de $L$ para os quais as imagens da função $h(x)$ assume quando $x\rightarrow-\infty$.

Em outras palavras, sabe-se que $\underset{x\rightarrow-\infty}\lim~h(x)=L$.

Substituindo $h(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}$ e $f(x)=2x^2+4x+56$ e $g(x)=4x+4x^2$, teremos:

$\underset{x\rightarrow-\infty}\lim~\dfrac{4x+4x^2}{2x^2+4x+56}=L$

Para resolvermos esta questão, divida o numerador e o denominador pelo termo de maior grau: $x^2$

$\underset{x\rightarrow-\infty}\lim~\dfrac{\left(\dfrac{4x+4x^2}{x^2}\right)}{\left(\dfrac{2x^2+4x+56}{x^2}\right)}=L$

Separe as frações como uma soma de frações e simplifique-as

$\underset{x\rightarrow-\infty}\lim~\dfrac{\dfrac{4}{x}+4}{2+\dfrac{4}{x}+\dfrac{56}{x^2}}=L$

Sabendo que $f(x)$ e $g(x)$ são funções polinomiais, logo contínuas em $\mathbb{R}$, aplicamos a propriedade: $\underset{x\rightarrow c}\lim~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\underset{x\rightarrow c}\lim~f(x)}{\underset{x\rightarrow c}\lim~g(x)}$

$\dfrac{\underset{x\rightarrow-\infty}\lim~\dfrac{4}{x}+4}{\underset{x\rightarrow-\infty}\lim~2+\dfrac{4}{x}+\dfrac{56}{x^2}}=L$

Lembre-se que o limite de uma soma de funções é igual a soma dos limites das funções, logo

$\dfrac{\underset{x\rightarrow-\infty}\lim~\dfrac{4}{x}+\underset{x\rightarrow-\infty}\lim~4}{\underset{x\rightarrow-\infty}\lim~2+\underset{x\rightarrow-\infty}\lim~\dfrac{4}{x}+\underset{x\rightarrow-\infty}\lim~\dfrac{56}{x^2}}=L$

Lembre-se que $\underset{x\rightarrow\pm\infty}\lim~\dfrac{1}{x^n}=0,~\forall{n}\in\mathbb{R}_{>0}$ e o limite de uma constante é igual a própria constante, temos

$\dfrac{4}{2}=L$

Simplifique a fração

$L=2$

Este é o valor que buscávamos.