Question

Considere as expressões x=(√8-√2)² e $y= \sqrt{4^{2}-2 ^{2} }$. A razão $\frac{x}{y}$ é igual a:

A)3
B)$\frac{ \sqrt{3} }{3}$
C)$\frac{ \sqrt{6} }{3}$
D)$- \sqrt{3}$

Answer 1

X =  ( V8 - V2)²

Y = V(4² - 2²)
X/Y = 

( V8 - V2)² =  [ (V8)² - 2 .V8 .V2  + (V2)² =  8 - 2V16 + 2  = 10 - 2V16 =              2 ( 5 - V16)  =  2 ( 5 - 4 )  = 2 .1  = 2 ****

V( 4² - 2²)  =  V( 4 + 2 ) . V(4 - 2)  = V6  . V2  = V12 = V(2².3) = 2V3 ****
REESCREVENDO COM OS RESULTADOS

X/Y =  2/ ( 2V3 )  =   1/ V3  ****
RACIONALIZANDO O DENOMINADOR MULTIPLICANDO NUMERADOR E DENOMINADOR POR V3 
X/Y =  ( 1V3 )/(V3.V3)  =  V3/(V3)² = V3/3 **** RESPOSTA ( b )

Answer 2

A questão só pede a razão ( uma divisão ) entre as duas expressões.

$\mathsf{x=( \sqrt{8}- \sqrt{2})^2}$

Nessa expressão podemos usar a propriedade do produto notável,

$\boxed{\mathsf{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}}$

Veja,

$\mathsf{x=( \sqrt{8})^2-2* \sqrt{8} * \sqrt{2}+( \sqrt{2})^2} \\ \\ \mathsf{x=8-2* \sqrt{16}+2} \\ \\ \mathsf{x=8-2*4+2} \\ \\ \mathsf{x=8-8+2} \\ \\ \mathsf{x=2}$

Na expressão $\mathsf{y= \sqrt{4^2-2^2} }$ podemos começar pelos expoentes, depois subtrair e tirar a raiz.

$\mathsf{y= \sqrt{16-4} } \\ \\ \mathsf{y= \sqrt{12}}$

Fatorando a raiz,

$\mathsf{12~I~2} \\ \mathsf{6~~I~2} \\\mathsf{3~~I~3} \\ \mathsf{1} \\ \\ \mathsf{y=2 \sqrt{3}}$

Tirando a razão entre "x" e "y",

$\mathsf{\dfrac{x}{y}=\dfrac{\not2}{\not2 \sqrt{3} }=\dfrac{1}{ \sqrt{3} }}$

Racionalizando,

$\mathsf{\dfrac{1}{ \sqrt{3}}*\dfrac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} }=\boxed{\mathsf{\dfrac{ \sqrt{3} }{3}}}}$

Alternativa B )