Question

Considere as equações do 2° grau ${ax}^{2}+bx+c=0$ e $a'{x}^2+b'x+c'=0$. Suas raízes reais são, respectivamente,$x_{1}, x_{2}, x_{3}$ e $x_{4}$. Determine a relação entre os coeficientes das equações para que o seguimento de extremidades com abscissas $x_{1}$ e $x_{2}$ seja dividido harmonicamente pelos pontos de abscissas $x_{3}$ e $x_{4}$.

#Cálculo e explicação

Answer 1

Oi você!

Observe na imagem as abscissas genéricas x1, x2, x3 e x4. Se os pontos x3 e x4 dividem harmonicamente o segmento de extremidades x1 e x2, matematicamente, significa que:
$\dfrac{x_3-x_1}{x_2-x_3}=\dfrac{x_4-x_1}{x_4-x_2}$

Desenvolvendo:
$(x_3-x_1)(x_4-x_2)=(x_2-x_3)(x_4-x_1)\\\\x_3.x_4-x_3.x_2-x_1.x_4+x_1.x_2=x_2.x_4-x_2.x_1-x_3.x_4+x_3.x_1\\\\2(x_3.x_4+x_1.x_2)=x_3.x_2+x_1.x_4+x_2.x_4+x_3.x_1\\\\2(x_3.x_4+x_1.x_2)=x_3(x_1+x_2)+x_4(x_1+x_2)\\\\2(x_3.x_4+x_1.x_2)=(x_1+x_2)(x_3+x_4)$

Pelas relações de Girard:
$x_1.x_2=\dfrac{c}{a}\\\\x_3.x_4=\dfrac{c'}{a'}\\\\x_1+x_2=\dfrac{b}{a}\\\\x_3+x_4=\dfrac{b'}{a'}$

Substituindo:
$2(x_3.x_4+x_1.x_2)=(x_1+x_2)(x_3+x_4)\\\\2\left(\dfrac{c'}{a'}+\dfrac{c}{a}\right)=\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{b'}{a'}\\\\\boxed{2(c'.a+c.a')=b.b'}$

Espero ter ajudado! Bons estudos!