Considere as equações das circunferências
C1: x2 – 2x + y2 – 2y = 0
C2: x2 – 4x + y2 – 4y = 0
cujos gráficos estão representados abaixo:
A área da região hachurada é:
Anexos:
Soluções para a tarefa
Respondido por
49
A área hachurada será a área da circunferência de maior raio menos a menor.
Vamos determimar o raio dessas circunferência utilizando o método de complentar quadrado.
C1 :
x^2-2x+y^2-2y = 0
Como sabemos:
(x-a)^2 = x^2-2ax+ a^2
Então temos que:
-2ax = -2x
a = -2x/-2x
a = 1
Adicionando 1 e -1 na equação teremos:
x^2 -2x = x^2-2x+1-1
x^2 -2x = (x-1)^2 -1
______
Agora usando o método de completar quadrado na equação de y"
(y-b)^2 = y^2 -2yb + b^2
Então,
-2by = -2y
b = -2y/-2y
b = 1
Logo, teremos que adicionar 1 -1 na equação.
y^2 -2y = y^2 -2y +1-1
y^2 -2y = (y-1)^2 -1
__________
Substituindo as duas fatorações.
(x-1)^2-1+(y-1)^2-1 = 0
(x-1)^2 +(y-1)^2 -2 = 0
(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2
(x-1)^2 + (y-1)^2 = Raiz(2)^2
C1 : Raio = Raiz(2)
_________
Vamos fatorar a C2:
C2:
x^2 -4x +y^2-4x = 0
Usando a regra anterior.
Temos que:
-2ax = -4x
a = -4x/-2x
a = 2
Então,
x^2 -4x = x^2 -4x +2^2-2^2
x^2 -4x = (x-2)^2 -4
__________
Para y faremos o mesmo.
-2by = -4y
b = -4y/-2y
b = 2
Então,
y^2-4y = y^2-4y-2^2+2^2
y^2-4y = (y-2)^2-4
_________
Substituindo ambas fatorações teremos.
(x-2)^2-4 + (y-2)^2 -4 = 0
(x-2)^2 + (y-2)^2 -8 = 0
(x-2)^2 + (y-2)^2 = 8
(x-2)^2 + (y-2)^2 = Raiz(8)^2
C2: Raio = Raiz(8)
Como podemos ver,
C2 > C1
Usando a formula de área teremos.
A = A2 - A1
A = pi(r2)^2 - pi(r1)^2
A=pi*Raiz(8)^2-pi*Raiz(2)^2
A = 8pi - 2pi
A = 6pi u.a
u.a = Unidades de Área.
Vamos determimar o raio dessas circunferência utilizando o método de complentar quadrado.
C1 :
x^2-2x+y^2-2y = 0
Como sabemos:
(x-a)^2 = x^2-2ax+ a^2
Então temos que:
-2ax = -2x
a = -2x/-2x
a = 1
Adicionando 1 e -1 na equação teremos:
x^2 -2x = x^2-2x+1-1
x^2 -2x = (x-1)^2 -1
______
Agora usando o método de completar quadrado na equação de y"
(y-b)^2 = y^2 -2yb + b^2
Então,
-2by = -2y
b = -2y/-2y
b = 1
Logo, teremos que adicionar 1 -1 na equação.
y^2 -2y = y^2 -2y +1-1
y^2 -2y = (y-1)^2 -1
__________
Substituindo as duas fatorações.
(x-1)^2-1+(y-1)^2-1 = 0
(x-1)^2 +(y-1)^2 -2 = 0
(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2
(x-1)^2 + (y-1)^2 = Raiz(2)^2
C1 : Raio = Raiz(2)
_________
Vamos fatorar a C2:
C2:
x^2 -4x +y^2-4x = 0
Usando a regra anterior.
Temos que:
-2ax = -4x
a = -4x/-2x
a = 2
Então,
x^2 -4x = x^2 -4x +2^2-2^2
x^2 -4x = (x-2)^2 -4
__________
Para y faremos o mesmo.
-2by = -4y
b = -4y/-2y
b = 2
Então,
y^2-4y = y^2-4y-2^2+2^2
y^2-4y = (y-2)^2-4
_________
Substituindo ambas fatorações teremos.
(x-2)^2-4 + (y-2)^2 -4 = 0
(x-2)^2 + (y-2)^2 -8 = 0
(x-2)^2 + (y-2)^2 = 8
(x-2)^2 + (y-2)^2 = Raiz(8)^2
C2: Raio = Raiz(8)
Como podemos ver,
C2 > C1
Usando a formula de área teremos.
A = A2 - A1
A = pi(r2)^2 - pi(r1)^2
A=pi*Raiz(8)^2-pi*Raiz(2)^2
A = 8pi - 2pi
A = 6pi u.a
u.a = Unidades de Área.
DaviSchreiber:
muito obg
Perguntas interessantes
Matemática,
8 meses atrás
Geografia,
8 meses atrás
Sociologia,
8 meses atrás
Matemática,
1 ano atrás
Biologia,
1 ano atrás
Geografia,
1 ano atrás