Question

Considere as equações das circunferências

C1: x2 – 2x + y2 – 2y = 0

C2: x2 – 4x + y2 – 4y = 0

cujos gráficos estão representados abaixo:

A área da região hachurada é:

Answer 1

A área hachurada será a área da circunferência de maior raio menos a menor.

Vamos determimar o raio dessas circunferência utilizando o método de complentar quadrado.

C1 :
x^2-2x+y^2-2y = 0

Como sabemos:

(x-a)^2 = x^2-2ax+ a^2

Então temos que:

-2ax = -2x
a = -2x/-2x
a = 1

Adicionando 1 e -1 na equação teremos:

x^2 -2x = x^2-2x+1-1

x^2 -2x = (x-1)^2 -1
______

Agora usando o método de completar quadrado na equação de y"

(y-b)^2 = y^2 -2yb + b^2

Então,

-2by = -2y

b = -2y/-2y

b = 1

Logo, teremos que adicionar 1 -1 na equação.

y^2 -2y = y^2 -2y +1-1

y^2 -2y = (y-1)^2 -1
__________

Substituindo as duas fatorações.

(x-1)^2-1+(y-1)^2-1 = 0

(x-1)^2 +(y-1)^2 -2 = 0

(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2

(x-1)^2 + (y-1)^2 = Raiz(2)^2

C1 : Raio = Raiz(2)
_________


Vamos fatorar a C2:

C2:

x^2 -4x +y^2-4x = 0

Usando a regra anterior.

Temos que:

-2ax = -4x
a = -4x/-2x
a = 2

Então,

x^2 -4x = x^2 -4x +2^2-2^2

x^2 -4x = (x-2)^2 -4
__________

Para y faremos o mesmo.

-2by = -4y
b = -4y/-2y
b = 2

Então,

y^2-4y = y^2-4y-2^2+2^2

y^2-4y = (y-2)^2-4
_________

Substituindo ambas fatorações teremos.

(x-2)^2-4 + (y-2)^2 -4 = 0

(x-2)^2 + (y-2)^2 -8 = 0

(x-2)^2 + (y-2)^2 = 8

(x-2)^2 + (y-2)^2 = Raiz(8)^2

C2: Raio = Raiz(8)

Como podemos ver,

C2 > C1

Usando a formula de área teremos.

A = A2 - A1

A = pi(r2)^2 - pi(r1)^2

A=pi*Raiz(8)^2-pi*Raiz(2)^2

A = 8pi - 2pi

A = 6pi u.a

u.a = Unidades de Área.