Question

Considere a transformação linear $T : R^3$ ⇒ $R^3$ definida por

$T(x,y) = (2x + 6y, 6x + 2y)$

Com relação a esse operador, analise as asserções a seguir.

T é isomorfismo

PORQUE

O núcleo de T é N = {( 0, 0, 0 )}

A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.

(A) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.

(B) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição falsa.

(C) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.

(D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição verdadeira.

(E) Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.


Justifique a opção escolhida.


Obrigado!

Answer 1

• O que é um isomorfismo na Álgebra Linear?

Em Álgebra Linear, considera-se isomorfismo aquela transformação que é ao mesmo tempo linear, sobrejetiva e injetiva. Neste tipo de transformação, os espaços relacionados são ditos isomorfos, já que eles têm a mesma dimensão (não é necessariamente o mesmo espaço).

• Como identificar um isomorfismo?

Para saber se uma transformação é um isomorfismo, basicamente devemos checar se ela satisfaz três condições simultaneamente. Isto é,

$\boxed{\mathsf{T~isomorfismo \Longleftrightarrow \begin{cases}\mathsf{T~linear}\\\mathsf{T~sobrejetiva}\\\mathsf{T~injetiva}\end{cases}}}$

• Como resolver a questão?

A questão diz a expressão da transformação linear de IR² em IR² e afirma que T é isomorfismo já que o núcleo é trivial. O primeiro passo é checar se a transformação é, de fato, um isomorfismo.

De cara a questão já diz que T é linear, então a primeira condição está satisfeita.

Existe um teorema na Álgebra que diz que se na transformação linear T: U -> V a dim(U) = dim(V), então caso ela seja injetiva ela será obrigatoriamente sobrejetiva. Para analisar se é injetiva, basta ver se o núcleo é trivial.

Por definição, um vetor u ∈ U está no núcleo quando:

$\large{\boxed{\mathsf{T(u) = 0}}}$

Assim,

$\mathsf{T(x,y) = (0,0)} \Leftrightarrow\\\\\mathsf{(2x+6y,6x+2y) = (0,0)} \Leftrightarrow\\\\\begin{cases}\mathsf{2x+6y = 0}\\\mathsf{6x+2y=0}\end{cases}\Rightarrow \boxed{\mathsf{x = y = 0}}$

Então, o único vetor que faz T(u) = 0 é o (0,0), ou seja, T(0,0) = (0,0). Logo, T é injetiva (pois o núcleo é N(T) = {(0,0)}).

Por consequência direta do teorema, T será sobrejetiva. Portanto, T é um isomorfismo. $\checkmark$

• Qual é a resposta?

Considerando que a T seja de IR² -> IR² e que o núcleo considerado foi N(T) = {(0,0)}, então as duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.

Resposta: C)

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