Question

Considere a transformação linear T:R4→R3 dada por:
T(x,y,z,w)=(6x−6z−2w,5x−8y+9z+9w,−7x−8y−4z+3w)

Determine:
dim(im(T))=
dim(ker(T))=

Answer 1

Resposta:Exemplos - Matriz de uma Transformação

Linear

Exemplo 1: Seja F : R3 −→ R2

, denida por F(x, y, z) = (x + y, 2z). Determine a matriz

da transformação linear F, isto é, (F)B,C com B e C as bases canônicas de R3

e R2

, respectivamente.

Escrevendo as imagens dos elementos da base canônica B = {(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)} do R3

,

pela transformação F, como combinações lineares dos elementos da base C = {(1, 0),(0, 1)} do

R2

, temos:

F(1, 0, 0) = (1, 0) = 1(1, 0) + 0(0, 1)

F(0, 1, 0) = (1, 0) = 1(1, 0) + 0(0, 1)

F(0, 0, 1) = (0, 2) = 0(1, 0) + 2(0, 1)

Assim, pela denição da matriz de uma transformação linear, obtemos:

(F)B,C =

1 1 0

0 0 2

Exemplo 2: Seja F : R3 −→ R2

, denida por F(x, y, z) = (x + y, 2z). Determine (F)B,C

com B = {(1, 1, 0),(1, 0, 1),(0, 0, −1)} base de R3

e C = {(1, 0),(1, 1)} base de R2

.

Escrevendo as imagens dos elementos da base B, pela transformação linear F, como combinações lineares dos elementos da base C, temos:

F(1, 1, 0) = (2, 0) = α11(1, 0) + α21(1, 1) ⇔

α11 + α21 = 2

α21 = 0 ⇒

α11 = 2

α21 = 0

F(1, 0, 1) = (1, 2) = α12(1, 0) + α22(1, 1) ⇔

α12 + α22 = 1

α22 = 2 ⇒

α12 = −1

α22 = 2

F(0, 0, −1) = (0, −2) = α13(1, 0) + α23(1, 1) ⇔

α13 + α23 = 0

α23 = −2

⇒

α13 = 2

α23 = −2

Assim, obtemos:

(F)B,C =

2 −1 2

0 2 −2

Exemplo 3: Determinar o operador linear F do R2

cuja matriz em relação a base B =

{(1, 2),(0, 5)} é:

(F)B =

3 1

2 −1

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