Question

Considere a transformação linear T : P2[t](R) -> R^4 definido por T(at² + bt + c) = (2a + c; a - b + c; a + b; 3a + b + c) (i) Determine uma base para Nuc(T) e sua dimensão. (ii) Determine uma base para Im(T) e sua dimensão.

Answer 1

Oi, Jr.

$\text{(i) }Nuc(T)=\{p(t)=at\²+bt+c\in P_2[t](\mathbb{R})\ |\ T(p)=0\}\\\\T(p)=0 \Leftrightarrow (2a+c,a-b+c,a+b,3a+b+c)=(0,0,0,0)\Leftrightarrow\\\\\begin{cases}2a+c=0\Rightarrow c=-2a\\a-b+c=0\Rightarrow a-b-2a=0\Rightarrow b=-a\\a+b=0\Rightarrow b=-a\ (\text{verdadeiro, repete o resultado acima})\\3a+b+c=0\Rightarrow 3a-a-2a=2a-2a=0\ (\text{verdadeiro})\end{cases}$

Portanto:

$Nuc(T)=\{p(t)=at\²+bt+c\in P_2[t](\mathbb{R})\ |\ b=-a\text{ e }c=-2a\}$
Se  $p(t)\in Nuc(T)$  então:$p(t)=at\²-at-2a=a(t\²-t-2)$

Uma base, portanto, para Nuc(T) é o conjunto de um elemento (polinômio)  $\boxed{\{t\²-t-2\}},$  pois qualquer elemento pertencente a Nuc(T) pode ser escrito na forma  $a(t\²-t-2), a\in \mathbb{R}.$

$\therefore\boxed{Dim(Nuc(T))=1},$  pois o conjunto que forma a base possui 1 elemento.


$\text{(ii) }v\in Im(T)\Rightarrow v=(2a+c,a-b+c,a+b,3a+b+c)=\\\\= \left[\begin{array}{ccc}2&0&1\\1&-1&1\\1&1&0\\3&1&1\end{array}\right]\cdot\left[\begin {array}{c}a\\b\\c\end{array}\right]$

Na matriz de transformação 4x3 acima, verifica-se que a segunda coluna é uma combinação linear da primeira e da terceira coluna, pois a segunda coluna é igual à primeira menos duas vezes a terceira.

Portanto, o conjunto dos vetores formado pela primeira e terceira colunas da matriz de transformação, removendo-se a segunda que é redundante, ou seja, {(2,1,1,3),(1,1,0,1)}, gera Im(T), pois:

$\left[\begin{array}{cc}2&1\\1&1\\1&0\\3&1\end{array}\right]\cdot\left[\begin {array}{c}\alpha\\\beta\end{array}\right]=\left[\begin {array}{c}2a+c\\a-b+c\\a+b\\3a+b+c\end{array}\right]\Rightarrow\begin{cases}\alpha=a+b\\\beta=-2b+c\end{cases}$

Verifica-se facilmente que este conjunto é L. I., pois: 

$\alpha(2,1,1,3)+\beta(1,1,0,1)=0\Leftrightarrow\alpha=\beta=0$

Como o conjunto {(2,1,1,3),(1,1,0,1)} gera Im(T) e é L. I., então {(2,1,1,3),(1,1,0,1)} é uma base para Im(T).

$\therefore\boxed{Dim(Im(T))=2},$  pois o conjunto que forma a base possui 2 elementos.


Observação importante: Veja que as dimensões do Núcleo e da Imagem satisfazem o Teorema da Dimensão, pois:

$\underbrace{Dim(P_2[t](\mathbb{R}))}_{=3}=\underbrace{Dim(Nuc(T))}_{=1}+\underbrace{Dim(Im(T))}_{=2}$