Question

Considere a sucessão dos infinitos múltiplos positivos de 4, escritos do seguinte modo:4 8 1 2 1 6 2 0 2 4 2 8 3 2 3 6 4 0 4 4 4 8 . . .
Nessa sucessão, a 168 a posição deve ser ocupada pelo algarismo

(A) 6.
(B) 4.
(C) 2.
(D) 1.
(E) 0.

Answer 1

O número de múltiplos de 4, ou de qualquer outro número, num determinado intervalo é igual a (N-n)/4+1, onde N é o maior múltiplo de 4 no intervalo e n, o menor. Isso vai ser útil nesse problema.

Os múltiplos de 4 de um algarismo colocam um termo nessa sequência, os múltiplos de 4 de dois algarismos colocam dois termos, os com três colocam três e assim sucessivamente. Contemos os múltiplos de 4 em determinados intervalos e contemos o número de termos que eles adicionam à sequência:

Entre 1 e 9 => 4 e 8 => 2 termos
Entre 10 e 99 => 12, 16, 20, ..., 92 e 96 => 22 múltiplos, 44 termos
Entre 100 e 240 => 100, 104, 108, ..., 240 => 36 múltiplos, 108 termos

Ao escrevermos os algarismos de 240 nessa sequência teremos 2+44+108=154 termos. Faltam 14 termos para chegar no termo desejado, ou seja, o 168º termo dessa sequência aparece como o dígito das dezenas do quarto múltiplo de 4 depois de 240; depois de escrevermos três múltiplos de 4 depois de 240, a saber, 244, 248 e 252 (adicionando 12 termos à sequência), e escrevendo o quarto múltiplo depois de 240 encontramos 256. Logo o 168º termo é ocupado pelo algarismo 5.

Não tem 5 como resposta nas alternativas :S + D:

Answer 2

Olá, Adriana.

Cheguei ao mesmo resultado do colega Felipe Queiroz.

Múltiplos de 4 com 1 algarismo: 4 e 8, ou seja, 1.ª e 2.ª posições.

Múltiplos de 4 com 2 algarismos: 12 a 96.
Do 12 ao 96 há  $\frac{96-12}4+1=\frac{84}4+1=23$  números de 2 algarismos, ou seja, da 3.ª posição até a  $(3+2\cdot23)$-ésima = 49.ª posição.

Os múltiplos de 4 com 3 algarismos começam, portanto, na 50.ª posição: 100104108112... e assim por diante.

Na  $(50+3i)$-ésima posição temos o número  $100+4i.$

Vamos procurar o valor de  $i,i\in\mathbb{N},$  ao qual corresponde o número que contém a 168.ª posição.

$50+3i\leq168 \Rightarrow 3i\leq118\Rightarrow i\leq39,333...\Rightarrow i=39$

O número  $100+4i$  é o número  $100+4\cdot39=100+156=256.$

Assim, na posição  $50+3i=50+3\cdot39=50+117=167$  está o algarismo 2 e, portanto, na 168.ª posição está o algarismo 5.

Resposta: nenhuma das alternativas