Question

Considere a soma Sn = 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n!.
(a) Tabele Sn e (n + 1)! para n = 1, 2, 3 e 4, e advinhe uma fórmula fechada para Sn.

(b) Prove sua fórmula por indução finita. Identifique claramente as várias etapas da sua demonstração.

Answer 1

Vamos lá, já vi essa questão algumas vezes :P

Item (a)
Nossa tabela terá três colunas: $n, \ S_n$ e $(n+1)!$.

$\begin{tabular}{c|c|c} n & S_n & (n+1)! \\ 1 &1&2\\ 2&5&6\\ 3& 23&24\\ 4& 119&120 \end{tabular}$

(Eu não pus, mas tu pode por o cálculo de $S_n$ nas linhas)
Perceba que existe uma diferença de uma unidade entre $S_n$ e $(n+1)!$, então pode-se pensar que...

$\boxed{S_n=(n+1)!-1}$

Item (b)
A prova por indução é dividida em duas partes: caso inicial e passo indutivo. No caso inicial você atribui um valor para $n$ e verifica se o que você encontrou é verdade ou não. Se for, a gente vai para o passo indutivo: supomos que o que encontramos vale para um certo $n=k$ e, com base nisso, provamos que o que encontramos vale para $n=k+1$.

(i) Caso inicial
Vamos verificar que o que encontramos vale para $n=1$

$S_1 = (1+1)!-1\\ S_1=2! -1\newline \overline{\underline{S_1=1}}$

(ii) Passo Indutivo
Como a fórmula que encontramos vale para $n=1$, nosso caso inicial, a gente pode seguir a prova. Suponhamos, então, que a fórmula vale para $n=k$, ou seja, que

$S_k=(k+1)!-1$

Agora vamos ver se a fórmula vale para $n=k+1$. Perceba, pela forma que $S_n$ foi definida, que

$S_n = \overbrace{1.1!+2.2!+\cdots+(n-1).(n-1)!)}^{S_{n-1}}+n.n!\\ \\ S_n=S_{n-1}+n.n!$

Daí, fazendo $n=k+1$ na relação acima, temos

$S_{k+1}=S_k+(k+1).(k+1)! \ (\mathrm{Pela \ hip\acute otese, \ temos}\ S_k=(k+1)!-1)\\ S_{k+1}=(k+1)!-1+(k+1).(k+1)!\\ S_{k+1}= (k+2).(k+1)!-1\\ \boxed{S_{k+1}=(k+2)!-1}$

Note que chegamos que a fórmula vale para $n=k+1$, portanto a fórmula vale para qualquer número natural.