Question

Considere a sequencia ( x-2, x ^2-39,2x+1) como uma PA, qual seria o quarto termo?

Answer 1

Para descobrir o quarto termo, devemos jogar na fórmula geral da PA.

$a_n = a_1 + (n-1)*r$

Como não temos a razão, então fazemos $(x ^2-39)-( x-2) = x^2-39-x+2= \underline{x^2-x-37}$

Agora, substituímos na fórmula.

$a_n = a_1 + (n-1)*r \\ \\ a_4 = a_1 + (4-1)*r \\ \\ a_4 = a_1+3*r \\ \\ a_4 = (x-2)+3*(x^2-x-37) \\ \\ a_4 = x-2+3x^2-3x-111 \\ \\ a_4 = 3x^2-3x+x-2-111 \\ \\ a_4 = 3x^2-2x-113$

Solução: O quarto termo dessa PA é 3x² - 2x - 113.

Answer 2

Se é uma PA temos que o termo central é igual a média aritmética do termo anterior com o termo sucessor a ele, ou seja:

a2 = (a1 + a3)/2           ou
2.a2 = a1 + a3              substituindo:
2.(x² - 39) = (x - 2) + (2x + 1)
2x² - 78 = 3x - 1 
2x² - 3x - 77 = 0

Bhaskara:
Δ = b² - 4ac
Δ = (-3)² - 4.2.-77
Δ = 9 + 616
Δ = 625

x = -b +/- √Δ /2a
x = -(-3) +/- √625 /2.2
x = 3 +/- 25 /4

x1 = 3 + 25 /4 = 28/4 = 7
x2 = 3 - 25 / 4 = -22/4 = -5,5
 
Agora vamos substituir os valores de x:
p/ x = 5,5
(-5,5 - 2, (-5,5)² - 39, 2.(-5,5))
(-7,5 , - 8,75 , -11) <<< não formou PA

p/ x = 7
(x - 2, x² - 39, 2x + 1)
(7 - 2, 7² - 39, 2.7 + 1)
(5, 10, 15)  <<< PA de razão 5

Em uma PA o termo seguinte é sempre o anterior + a razão, assim:
a4 = a3 + r
a4 = 15 + 5
a4 = 20

Bons estudos