Question

Considere a sequência na qual a1 = 1 e an = an-1 + 2n - 1, para n inteiro maior que 1. O termo an dessa sequência é equivalente a:

A) n² - 1 B) n² C) n² + 1 D) (n - 1)² E) (n + 1)²

Answer 1

Olá!

Inicialmente, é interessante encontrarmos os primeiros termos da sequência. Desse modo, poderemos ver seu comportamento e tirar alguma coisa disso. Segue:

Segundo termo: a_2

$\\ \mathsf{a_n=a_{n-1}+2n-1}\\\\\mathsf{a_2=1+2\cdot2-1}\\\\\mathsf{a_2=1+4-1} \\\\\mathsf{a_2=4}$


Terceiro termo: a_3

$\\ \mathsf{a_n=a_{n-1}+2n-1}\\\\\mathsf{a_3=4+2\cdot3-1}\\\\\mathsf{a_3=4+6-1} \\\\\mathsf{a_3=9}$


Quarto termo: a_4

$\\ \mathsf{a_n=a_{n-1}+2n-1}\\\\\mathsf{a_4=9+2\cdot4-1}\\\\\mathsf{a_4=9+8-1}\\\\ \mathsf{a_4=16}$

 
 Parece-me que $\underline{\mathsf{a_n = n^2}}$...

 Para ter certeza, podemos aplicar o Princípio da Indução Finita (1ª forma). Ao fazer uma indução em "n", devemos verificar se a hipótese é verdadeira para $\mathsf{n = 1}$, por conseguinte, admita que a hipótese seja verdadeira para $\mathsf{n = k}$, em que $\mathsf{k \in \mathbb{N}}$, e por fim, deve ser verdade, também, que a hipótese é verdadeira quando $\mathsf{n = k + 1}$  

  Assim, concluímos que, de fato, $\boxed{\mathsf{a_n = n^2}}$