Question

Considere a seguinte situação. • Fase 0: José contou um segredo para 4 pessoas. • Fase 1: Cada uma das pessoas que ouviu o segredo na fase anterior contou o mesmo segredo para outras 4 pessoas. • Fase 2: Cada uma das pessoas que ouviu o segredo na fase anterior contou o mesmo segredo para outras 4 pessoas. • Fase 3:... Considerando-se que as fases seguintes repetem o ocorrido na fase imediatamente anterior, se fizermos x represen- tar o número associado a cada uma das fases, S(x) representar o número de pessoas que ouviu o segredo na fase x eN representar o conjunto dos números naturais, então a função S: N→ N que modelará essa situação poderá ser representada por:

a) S(x) = 4x e) S(x) = 4*. b) S(x)=x². c) S(x) = 4x + 1. d) S(x) = 4***​

Answer 1

A função S: N→ N que modelará essa situação é S(x)= 4^(x+1), que não corresponde a nenuma das cinco opções sugeridas.

Modelagem matemática simples

Para encontrar a função quee modele a situação, foram passadas algumas informações sobre as fases do processo. Na Fase 0, José contou o segredo para 4 pessoas. Na Fase 1, cada uma dessas 4 pessoas contou o mesmo segredo a outras quatro pessoas, na Fase 2, novamente, cada uma das 4 pessoas que ouviu o segredo, contou-o para outras 4 pessoas, e assim, sucessivamente...

Podemos inferir que na Fase 1, quatro pessoas ouviram o segredo; na Fase 2, 4*4 = 16 pessoas ouviram o segredo; na Fase 3, 4*16 = 64 pessoas ouviram o segredo; na Fase 4, 4*64 = 256 pessoas ouviram o segredo,..., ou seja, a cada fase, o número de pessos que ouvem o segredo é quatro vezes o número de pessoas que ouviu o segredo na fase anterior, portanto, podemos relacionar a fase ao número de pessoas que ouviu o segredo, pela seguinte relação,

• Fase 0 - 4 * 1  =  4        4*4^0  -  4^(0+1)  → 4^1
• Fase 1  - 4 * 4 = 16        4*4^1   -  4^(1+1)   → 4^2
• Fase 2 - 4 * 16 = 64      4*4^2  -  4^(2+1)  → 4^3
• Fase 3 - 4 * 64 = 256   4*4^3  -  4^(3+1)  → 4^4

Seja x o valor que representa o número associado a cada Fase, pela tabela acima, podemos observar que, para cada x, 4^(x+1) pessoas ouviram o segredo. Portanto, podemos concluir que,

S(x) = 4^(x+1) ou S: N→ N | S(x) = 4^(x+1)

As opções apresentadas não satisfazem à proposição, pois,

• opção a) S(x) = 4x, com os dados da Fase 0, S(x) = 4*0 = 0 ≠ 4, que é o resultado da Fase 0;
• opção b) S(x) = x^2, com os dados da Fase 0, S(x) = 0^2 = 0 ≠ 4, que é o resultado da Fase 0;
• opção c)* S(x) = 4x + 1, com os dados da Fase 0, S(x) = 4*0 + 1 = 1 ≠ 4, que é o resultado da Fase 0;
• opção d) S(x) = 4*** - nonsense;
• opção e) S(x) = 4* - nonsense.

* - devido a alguns pequenos erros de grafia percebidos no enunciado, é possivel que a opção c tenha sido prejudicada por esses erros, já que a diferença para a fórmula correta, é que o x+1 seria o expoente de 4 e não 4x+1.

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