Question

Considere a PG (1,1/2,1/4,...)
a) Mostre que a soma dos n primeiros termos da PG é Sn = 2 - 1/2ⁿ⁻¹

b) Encontre o menor n natural para que Sn > 1,99

Answer 1

a)
Primeiro vamos achar a razão dessa PG:

q = a2/a1 = (1/2)/1 = 1/2

Agora vamos substituir na fórmula da soma dos termos de uma PG finita:
Sn = a1 . (q^n  -1)/(q - 1)
Sn = 1 .   ((1/2)^n  - 1)/(1/2 - 1)          somando os termos do denominador:
Sn = ((1/2)^n  - 1)/(-1/2)          

Troque o sinal de divisão para multiplicação e inverta a fração do denominador:

Sn = ((1/2)^n  - 1) . (-2)           fazendo a distributiva:
Sn = -2.(1/2)^n + 2                  arrumando:
Sn = 2 - 2.(1/2)^n

Agora, para colocarmos como o problema pede, podemos interpretar 2 como: (1/2)^-1, analisando assim:

Sn = 2 - (1/2)^-1 . (1/2)^n

Propriedade da multiplicação de potencias de mesma base: conserva a base e soma os expoentes

Sn = 2 - (1/2)^(n - 1)        arrumando:
Sn = 2 - 1^(n - 1)/2^(n - 1)         1 elevado a qualquer número é sempre ele mesmo:
Sn = 2 - 1/2^(n-1)

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Como ja temos a expressão geral da soma dos termos, basta substituirmos Sn por 1,99 que acharemos o menor n natural:

Lembre-se que como esta é uma inequação, sempre que multiplicarmos por -1, ou estivermos analisando denominadores iguais invertemos o sinal da equação.
Ex:   3 > 2      mas  -3 < -2
        3 > 2      mas  1/3 < 1/2

Sn = 2 - 1/2^(n-1)
2 - 1/2^(n-1) > 1,99            
- 1/2^(n-1) > 1,99 - 2      
- 1/2^(n-1) > -0,01         multiplicando ambos os lados por -1:
1/2^(n-1) < 0,01             transforme 0,01 em fração:
1/2^(n-1) < 1/100           como os numeradores são iguais:
2^(n-1) > 100                 separando:
2^n/2^1 > 100
2^n/2 > 100
2^n > 200

Agora basta pensarmos, como n é um numero natural, 2 elevado a quanto é maior que 200?

n = 8.

Bons estudos.

Answer 2

a)
Utilizando a fórmula da soma de uma PG, temos:
$S_n= \dfrac{a_1*(q^n-1)}{q-1}$

Como a PG é 1, 1/2, 1/4 ... podemos perceber que:
a1=1
e a razão é: q= (1/2)/1 = 1/2

Então substituindo na fórmula da soma da PG fica assim:
$S_n= \dfrac{a_1*(q^n-1)}{q-1}\\\\ S_n= \dfrac{1*(( \frac{1}{2} ^n)-1)}{ \frac{1}{2} -1}\\\\ S_n= \dfrac{\frac{1}{2^n}-1}{ -\frac{1}{2}}\\\\\ S_n= \dfrac{\frac{2^n-1}{2^n}}{ -\frac{1}{2}}\\\\\ S_n= \dfrac{2^n-1}{2^n}}*({ -\dfrac{2}{1}})\\\\\ S_n= \dfrac{-2*2^n+2}{2^n}}\\\\\ S_n= \dfrac{2-2*2^n}{2^n}}\\\\\ S_n= \dfrac{2}{2^n}-\dfrac{2*2^n}{2^n}\\\\\ S_n= \dfrac{1}{2^{n-1}}-2\\\\ S_n= 2-\dfrac{1}{2^{n-1}}$

b)
Sn>1,99
$S_n\ \textgreater \ 1,99\\\\ S_n= 2-\dfrac{1}{2^{n-1}}\\\\ 2-\dfrac{1}{2^{n-1}} \ \textgreater \ 1,99\\\\ -\dfrac{1}{2^{n-1}} \ \textgreater \ 1,99-2\\\\ -\dfrac{1}{2^{n-1}} \ \textgreater \ -0,01\\\\ \dfrac{1}{2^{n-1}} \ \textless \ 10^{-2}\\\\ \dfrac{1}{10^{-2}} \ \textless \ 2^{n-1}\\\\ 2^{n-1} \ \textgreater \ \dfrac{1}{10^{-2}}\\\\ 2^{n-1} \ \textgreater \ 100\\\\ \dfrac{2^n}{2}\ \textgreater \ 100\\\\ 2^n \ \textgreater \ 200\\\\ n\ \textgreater \ \log_{2} 200\\\\ n\ \textgreater \ 7,64$
Então n=8

Espero que tenha entendido!